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1、数值分析课程设计 Gauss消元、LU分解、Jacobi迭代法比较分析院（系）名称 信息工程学院 专 业 班 级 09普本信计1班 学 号 090111053 学 生 姓 名 李 豪 指 导 教 师 孔繁民 2012年05月21日数值分析 课程设计评阅书题目Gauss消元法、LU分解、Jacobi迭代法比较分析学生姓名李豪学号090111053指导教师评语及成绩指导教师签名： 年 月 日答辩评语及成绩答辩教师签名： 年 月 日教研室意见 总成绩： 教研室主任签名：年 月 日 课程设计说明书（论文） 第II页课程设计任务书20112012学年第二学期专业班级： 09普本信计1班 学号： 0901
2、11053 姓名： 李豪 课程设计名称： 数值分析 设计题目： Gauss消元法、LU分解、Jacobi迭代法比较分析 完成期限：自 2012 年 5月 21 日至 2012 年 5月 31 日共 10 天设计依据、要求及主要内容：一、设计目的： 求解线性方程组的数值方法1.可直接求解，如进行LU分解，其中,LU分解又有Doolittle方法和Grout方法。2.可在计算机上通过设定和给定的迭代次数，无限接近所求的数，但必须保证所求方程是收敛的前提下。 二、设计内容：1.用随机数产生10*10阶的线性方程组。2.用Gauss选主元消去法求解。3.用Doolittle方法（LU分解）求解。4.用
3、Crout方法（LU分解）求解。5.用Jacobi迭代法求解。6.用Gauss-Seidel迭代法求解 三、设计要求：先用Matlab数据库中的相应函数对给定的线性方程组求出具有一定精度的解；然后对所学的各种方法分别编写Matlab程序进行求解；无论直接解法，要有条件数分析，对于迭代解法，给出收敛分析。 三、参考文献 1 冯果忱，刘经伦。数值代数基础。长春：吉林大学出版社，1991. 2法捷耶夫 D K,法捷耶娃 B H.线代数计算方法。上海：上海科技出版社19653希图尔特 G W.矩阵计算引论。上海：上海科技出版社，1980. 4蒋尔雄，高坤敏，吴景琨。线性代数。北京:人民教育出版社。19
4、78 计划答辩时间：2012年5月31日工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字。指导教师（签字）： 孔繁民 教研室主任（签字）： 批准日期： 2012 年 5 月 20 日 Gauss消元、LU分解、Jacobi迭代法比较分析摘 要 求解线性方程组有多种方法，总体可分为两类：直接法和迭代法。两种方法都有其优点和局限的地方。本次课程设计采用综合分析方法，对两种方法中具有代表性的Gauss消元法，LU分解方法，Jacobi迭代法进行比较分析，力求能从中得到合理运用各种方法的经验。其中的一般思路是，首先透彻理解各种解法的原理，适用范围和条件，然后通过Matla
5、b对解法进行编程，最后通过对运行程序得到的结果进行分析，从而得出各种方法的适用范围，对每一种方程采用何种方法最优的一般结论。关键词：Gauss消元，LU分解，Jacobi迭代，Matlab目 录1 方法分析11.1 Gauss消元法11.2 Doolittle分解51.3 Jacobi的原理92 比较分析102.1 Gauss算法运行结果122.2 LU分解运行结果132.3 Jacobi运行结果15附录19总结21参考文献22翻译23 1 方法分析1.1 Gauss消元法 首先来考察Gauss消元法。Gauss消元法一种直接法，直接法是指在无舍入误差的情况下，经过有限步运算即可求得方程组精确
6、解的算法，因此，又称为精确法，这种方法是通过矩阵约化将原方程组化成与之等价的三角形方程组和其他形式的可以直接求解的方程组而实现的.消元法是这类方法的典型.由于舍入误差的存在，即便使用精确法也得不到精确解.所以一个直接方法只有舍入误差是可以控制的时候才是可用的.其实，按自然消元过程等价于将方程组的增广矩阵依次方程乘以具有恰当形式的的Gauss的矩阵，将其约化为上三角形式.高斯消去法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程.,下面分别写出“消去(消元)”和“回代” 两个
7、过程的计算步骤. 消去(消元)过程: 第一步：设取做（消去第个方程组的）第一个方程第方程 则第方程变为 (1.1.1) 因为可得第一步消元方程 (1.1.2)第二步：设取做（消去第个方程组的，）第二个方程第个方程 类似可得到第二步消元后的方程组为 (1.1.3)第k步：设，取做（消去第个方程组的，） 第个方程第个方程 类似可得到第步消元后的方程组为 (1.1.4)继续下去到步消元，可将线性方程组化为如下上三角方程组： (1.1.5)其中和的上标表示第次消元后的系数，计算公式为：对 (1.1.6) 下面来分析Gauss消元的算法：线性方程组 其中 消元：回代：接下来说明一下Gauss消元法在程序
8、中的具体实现：输入 输出 步骤： 具体程序见附录1.1.2 Doolittle分解 下面来考查另一种直接方法，Doolittle分解.将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵.当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，但不唯一.其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，这就是LU分解.Doolittle分解属于LU分解.LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式.实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵.这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，
9、将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵.Doolittle的范围：对于非奇异矩阵（任n阶顺序主子式不全为0）的方阵A，都可以进行Doolittle分解，得到A=LU，其中L为单位下三角矩阵， U为上三角矩阵，且分解是唯一的（这里的Doolittle分解实际就是Gauss变换）.下面具体讨论Doolittle分解是如何实现的：A的各阶顺序主子式均不为零，即：令用比较等式两边元素的方法逐行逐列求解各元素. (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4)即 (1.2.5
10、)各元素在计算机内存于的各位再由及得 (1.2.6)接下来来讨论关于Doolittle分解的具体算法：（1） 输入：（2） 分解 i) ii) （3） 解及i) ii) （4） 输出：方程组的解Dolittle的Matlab程序见附录2.条件数分析：在计算过程中，由于计算机字长的有限性，不可避免地产生所谓的舍入误差。同时，由于所求问题的初始数据（例如线性方程组的系数矩阵和右端项系数）往往是带有一定误差的。因此计算结果总是不可避免地带有误差，或者说，如果初始数据有扰动，势必将带来具有一定误差的计算结果。对于来说，由于观测或计算等原因，线性方程组两端的系和都带有误差和，这样实际建立的方程组是近似方
11、程组。对近似方程组求出的解是原问题的真解加上误差,即。而是由及引起的，它的大小将直接影响所求解的可靠性。这种解依赖于方程组系数的误差及的问题，称为线性方程组解对系数的敏感性。 程组的系数矩阵发生微小扰动，就有可能引起方程组性质上的变化，这是方程组本身的“条件问题”。相对误差关系式： 设原线性方程组： 近似方程组： 在 1. (1.2.7)2. (1.2.8)由这些关系式可看到，带有扰动的近似方程组中，扰动的大小直接影响着所求解的相对误差，故可作如下定义：定义：设A非奇异，称为矩阵A的条件数，记 为，即 .可反映出方程组解对系数的敏感性.一般来说，方程组的条件数越小, 求得的解就越可靠; 反之，解的可靠性就越差。但是由于实际问题的复杂性，需要求解的线性方程组的规模往往很大，利用直接法求解其计算效率将变得很差，甚至失效.这主要有两方面的困难：1）存储量太大；2）计算速度慢.一种有效的方法是利用迭代法.迭代解法的特点是，对于一个给定的离散代数系统，首先假设一个初始解，然后按一定的算法公式进行迭代.
