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1、南京市2018届高三数学考前综合题一填空题1已知l,m是空间两条不重合的直线,是两个不同的平面给出下列命题：若l,lm,则m；若l,m,则lm；若l,m,lm,则；若,l,m,则lm其中是真命题的有填所有真命题的序号答案说明考查基本的直线与直线,直线与平面,平面与平面基本位置关系的判断2已知函数fsincos为偶函数,0,则角的值为答案提示因为fsincos为偶函数,所以ff恒成立,即sincossincos展开并整理得sinx0恒成立所以cossin0,即tan,又0,所以说明本题考查函数的奇偶性,以与三角恒等变换,这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解3在平面直角坐标系xOy中,过抛物线
2、x24y焦点的直线l交抛物线于M,N两点,若抛物线在点M,N处的切线分别与双曲线C2：1的两条渐近线平行,则双曲线的离心率为答案提示由双曲线：1的渐近线方程yx,可得两条切线的斜率分别为,则两条切线关于y轴对称,则过抛物线C1：x24y焦点的直线l为y1,可得切点为和,则切线的斜率为1,即ab,于是e说明本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质,要能通过分析得到直线l为y1,这是本题的难点4已知点P是ABC内一点,满足,且231,延长AP交边BC于点D,BD2DC,则答案提示因为BD2DC,所以由于与共线,设m,则于是2,又231,解得,所以说明本题考查平面向量表示,向量基本定理,共线定理以与三点
3、共线的向量表示,本题可用基底法,也可通过坐标法解决5已知数列an的前n项和为Sn,a2n1是公差为d的等差数列,a2n是公比为q的等比数列,且a1a2a,S2：S4：S61：3：6,则的值是答案2提示S22a,S4a1a3a2a42adaaq3adaq,S6a1a3a5a2a4a63a3daaqaq2,因为S2：S4：S61：3：6,所以：1：3：6,即所以2aqaq2a因为a0,所以2qq21即q1,所以d2a,从而2说明本题考查等差、等比数列的基本量运算,需要学生有一定的运算能力6已知函数fx,若直线l1,l2是函数yf 图像的两条平行的切线,则直线l1,l2之间的距离的最大值是答案2提示
4、设切线l1,l2的切点为P,Q,x1x2,因为f,切线l1,l2平行,所以,因此有x1x20,切线l1,l2的方程分别为yx,yx,于是l1,l2之间的距离d2,当且仅当x1时取等号,于是d的最大值为2说明本题考查导数的几何意义,基本不等式,解决问题时要有消元的意识7在平面直角坐标系xOy中,点P是椭圆C：1上一点,F为椭圆C的右焦点,直线FP与圆O：x2y2相切于点Q,若Q恰为线段FP的中点,则椭圆C的离心率为答案提示设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,OQ,因为Q为线段FP中点,O为线段F1F中点,所以,PF1b,PF2ab,又OQPF,所以PF1PF,因此PF12PF2F1F2, 所以b
5、222,即b224,可得,所以e说明本题考查椭圆的几何性质,要能运用几何特征简化运算,本题也可以设点求解8实数x,y满足x22xy4y21,则x2y的取值范围是答案,提示设x2yt,则y,代入x22xy4y21得：x2txt210, 则t240,解得t说明注意利用方程有解,求参数的范围这一方法在数列填空题中经常会用到,例如：已知等差数列an的公差为d,前n项的和为Sn,且S22,S34,S46成等比数列,则公差d的最小值是转化为关于a1和d的方程,看作关于a1的方程有解,列出关于d的不等式即可,答案19ABNM已知AB4,点M,N是以AB为直径的半圆上的任意两点,且MN2,1,则答案6提示设圆
6、心为O,则2,4,于是24 2 21所以6说明本题考查的加减运算,数量积运算,体现了化归与转化的思想10在平面直角坐标系xOy中,已知点P,若圆M：2y2r2上存在两点A,B使得2,则r的取值范围是答案,3提示设B,根据2,可得A, 则有22r2,即22,又2y02r2,故有rr,解得：r3,易知点P在圆2y2r2内,所以r, 从而r,3说明一般的解析几何中存在性问题,要能有轨迹思想的意识,把存在性问题转化为有解问题,注意几何与代数之间的相互转化11在平面四边形ABCD中,AD2,CD4,ABC为等边三角形,则BCD面积的最大值是DCBA答案44提示设BCD的面积为S,则S4BCsinBCD2
7、BCsin BCsinACDBCcosACD 设ADC,则,于是ACsinACD2sin,即BCsinACD2sin, 又BCcosACDAC42cos, 所以S2sin4sin4, 从而S的最大值为44,此时说明本题考查正余弦定理与三角恒等变换,注意这类题容易设计成应用题,本题难点在如何选择变量建立函数12已知函数f x2k2k4ax1,a,kR对于任意k0有：任意x11,0,任意x2k,k2,f f 成立,则a的最大值是答案21提示由题意知：函数f 在区间1,0上的最小值不小于函数f 在区间k,k2上的最大值 结合函数f 的图像可知：对称轴x,对任意k0恒成立, 即a,对任意k0恒成立 因
8、为kk1121,当且仅当k1时取等号, 因此当k0时,的最小值为21,于是a21,所以a的最大值是21说明本题的题意为：函数f 在1,0上的最小值不小于函数f 在k,k2上的最大值在这里不必去求最值,结合函数的图像,只要对称轴满足一定的条件即可13已知a,bR,若关于x的不等式lnxab对一切正实数x恒成立,则当ab取最小值时,b的值为答案ln3提示在平面直角坐标系xOy中,分别作出ylnx与yab的图像, 不等式lnxab对一切正实数x恒成立,即直线yab恒在曲线ylnx的上方ab最小,即直线yab与x3交点的纵坐标最小根据图像可知：ab的最小值为ln3,此时直线yab与曲线ylnx相切于点
9、,因此有：a,从而bln3说明复杂的函数问题要善于数形相互转化,利用图像快速解决问题14已知函数f x3ax1,g 3x2,若函数F有三个零点,则实数a的取值范围是答案a提示易得f3x2a当a0时,函数f在R上单调递增,F至多两个零点,不满足题意当a0时,令f3x2a0,解得x,易得函数f在,上单调递增,在上单调递减,在同一坐标系中,分别作出函数f ,g 的图像,根据图像可知：当f0时,F有且仅有一个零点；当f0时,F有且仅有一个零点；当f0时,要使得F有三个不同的零点,则f0或者解得a说明本题考查函数的零点问题,应用数形结合,函数与方程的思想方法,分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点
10、问题二解答题15已知函数fsinxcosx,f是f的导函数1求函数Ffff2的最大值和最小正周期；2若f2f,求sin的值解：1因为fcosxsinx,所以Ffff2cos2xsin2x2sinxcosxsin2xcos2x2sin所以当2x2k,即xk时,Fmax2函数F的最小正周期为T2因为f2f,所以sinxcosx2,即cosx3sinx,故tanx于是sin说明本题考查三角恒等变换以与三角函数的简单性质,注意公式和性质的熟练掌握16设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c01求角B的大小；2若b2,试求的最小值解：1因为c0,所以accosBcabcosC0,即cosBbcosC0由正弦定理得cosBsinBcosC0,即2sinAcosBsin0,亦即2sinAcosBsinA0,因为sinA0,故cosB因为B,所以B2由余弦定理得b2a2c22accos,即12a2c2ac因为12a2c2ac3ac,所以ac4,所以accosac2,当且仅当ac2时取等号,所以的最小值为2说明本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理其中第二问要能利用基本不
