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1、第五节 数学建模最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题分布图示 最大值最小值的求法例1例2 例3例4例5 例6 例7 对抛射体运动建模 例8例9 光的折射原理 例10 在经济学中的应用 例11例12 内容小结课堂练习 习题3-5 返回内容要点 一、求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.
2、求函数在上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2） 对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.二、对抛射体运动建模三、光的折射原理 四、在经济学中的应用例题选讲例1 (E01) 求的在上的最大值与最小值.解 解方程得计算 比较得最大值最小值例2 求函数在上的最大值及最小值.解 函数在上连续,令得 故在 上最大值为最小值为例3 (E02) 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为10
3、0km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 (km), (km), 铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:即 问题归结为：取何值时目标函数最小. 求导得令得(km).由于从而当(km)时，总运费最省.例4(E03) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费
4、20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为解得(唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元).求函数的最大值最小值例5 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则以点为一顶点的内接矩形的面积为且由 求得驻点为唯一的极值可疑点. 依题意, 存在最大值,故是的最大值,最大值对应的值为 即当矩形的边长分别为时面积最大.例6 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成三角形面积最大.解 根据几何分析, 所求三角形面积为由解得(舍去).为极大
5、值.故三角形为所有中面积的最大者.例7 求数列的最大项(已知).解 令则由得唯一驻点当时, 当时, 所以当时, 时, 函数取得极大值 ,由于又因此当时, 得数列的最大项例8 (E04) 在地面上以400m/s的初速度和的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置.解 由m/s，则即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题. 但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻的竖直位置解出.，因为抛射体在时刻发射，故必然是抛射体碰到地面
6、的时刻. 此时抛射体的水平距离，即射程为 .当时即时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即从而 ，故最大高度. 根据以上分析，不难求得例中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 飞行时间（秒） 射程（米） 最大高度 （米）例9(E05) 在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角和初速度.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且0.725)解 建
7、立如图所示坐标系, 设火箭被射向空中的初速度为米/秒,即,则火箭在空中运动秒后的位移方程为=. 火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有 ,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为解得：, 从而又 (米/秒)所以,火箭的发射角和初速度分别约为和米/秒.例10(E06) 求一条光线从光速为的介质中的点A穿过水平界面射入到光速为的介质中点B的路径如图，点A和B位于平面且两种介质的分界线为轴，点在介质分界线上，和分别表示点A，点B和点的坐标，和分别表示入射角和折射角解 因为光线从A到B会以最快的路径行进，所以我们要寻求使行进时间最短的路径. 光线从点A到点P所需要的时间为
8、，从点P到点B所需要的时间为，故光线从点A到点B所需要的时间（目标函数）为.函数是的一个可微函数，其定义区间为. 下面我们要求的是函数在该闭区间上最小值. 由. 由上式可知，在处，在处，. 因为在上连续，所以在和之间必存在一点使. 又因是增函数，所以这样的点唯一. 故在处，有.这个方程描述的就是光的折射定律.例11(E07) 设且，其中表示千件产品. 是否存在一个能最大化利润的生产水平？如果存在，它是多少？解 注意到且，令，解之得及可能使利润最大的产品的水平为千件或千件. 右图的图形表明在附近（在该处收入超过成本）达到最大利润而最大亏损发生在大约的生产水平上.例12(E08) 某人利用原材料每
9、天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解 设每天订一次货，那么在运送周期内必须订单位材料. 而平均贮存量大约为运送数量的一半，即. 因此 每个周期的成本=运送成本+贮存成本=平均成本，由解方程，得驻点，（舍去）.因 ，则 ，所以在天处取得最小值.贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材单位材料.课堂练习 1. 下列命题正确吗? 若为的极小值点, 则必存在的某领域, 在此领域内, 在的左侧下降, 而在的右侧上升.2 .若是在a, b上的最大值或最小值, 且存在, 是否一定有?
