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1、MBA2002联考共享笔记数学重点习题（6）1、假设由自动线加工的某种零件内径（单位：mm）服从正态N（，1）分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件不合格品亏损，已经销售利润T（单位：元）与销售零件的内径关系为：T=问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（答案：10.9）【思路】利润L=-1*(10-)+20*(12-)- (10-)-5*1-(12-)=25(12-)-21(10-)-5=251/(2)0.5e(-0.5x2) 从-到12-的积分-211/(2)0.5e(-0.5x2) 从到10-的积分 -5对上式求导得L=1/(2)0.5(21e0.5(1
2、0-)2-25 e0.5(12-)2令L=0即可以求得=10.9此时销售一个零件的平均利润最大.2、设某种商品每周的需求量是服从区间0，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30的某一整数，商店每销售1单位的商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每单位仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。（这道题绕老绕去，把我给整晕了，希望高手指点迷津！书上的答案是24） 【思路】设进货量为N,需求量X,则NX30时,利润Y=300(X-N)+500N=300X+200N10XN时,利润Y
3、=-100(N-X)+500X=600X-100N已知X区间0，30上的均匀分布则E(Y)=Y*1/20 从10到30积分=1/20(300X+200N)dx (从N到30积分)+1/20(600X-100N)dx (从10到N积分)=-7.5N2+350N+52509280得,62/3N26 所以N=213、设a, b是正整数，且x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0各有实根，则a+b的最小可能值是？ 【思路】1、两个方程的都应大于等于0，得:a28b（1）式； b2a（2）式。2、由（2）式得：ba1/2，代入（1）得：a28*a1/2，所以，a4，（等号成立时，b=2）3、由（1）式
4、得：a（8*b）1/2，代入（2）得：b1/2（8*b）1/2，所以，b2，（等号成立时，a=4）4、由以上可知，当a取最小值4时，b取最小值2，所以a+b的最小值为64、设一年中第i季度某地段发生交通事故的次数Xi服从参数为i的泊松分布。i=1，2，3，4，并且各季度发生交通事故的次数互不影响。求：、（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；（2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；（3）若记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。 【思路】（1）该地段上半年发生交通事故次数的分布；设pi(i=0,1,2.)第季度某地段发生交通事故的次数X1=i
5、服从参数为1的泊松分布；qj(j=0,1,2,.)第2季度某地段发生交通事故的次数X2=j服从参数为2的泊松分布;k=0,1,2.为上半年某地段发生交通事故Y的次数已知pi=(1i)*e(-1)/i!;qj=(2j)*e(-2)/j!;Py=k=pi*pj(i+j=k的所有组合)西格阿(1i)*e(-1)/i!*(2j)*e(-2)/j!=(1+2)k*e(-1-2)/k!该地段上半年发生交通事故次数的分布(1+2)k*e(-1-2)/k!(k=1,2,3.)（2）该地段连续10年，上半年发生交通事故总和的平均次数；E(Y)=1+210年平均次数有独立性知为10E(Y)=10(1+2)(3)若
6、记Z表示连续10年中，该地段上半年未发生交通事故的年数，计算EZ与DZ。上半年未发生交通事故概率为u=PY=0=e(-1-2)上半年发生交通事故概率为v=1-PY=0=e(-1-2)连续10年中该地段上半年未发生交通事故的年数服从二项分布（10,u）EZ=10*uDZ=10*u*v5、设随机变量X1与X2相互独立同分布，X1的概率函数为P（X1=i）=1/3,i=1,2,3.令X=max(X1,X2),Y=min(X1,X2) (1)求二维随机向量（X，Y）的联合分布；（2）求X与Y的协差阵。6、先看四道题：1 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成甲，乙两组（组不同，计次序），每组2个元
7、素（平均分），有几种分法？c(4,2)*c(2,2)=62 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成两堆（堆相同，不计次序），每堆2个元素（平均分），有几种分法？c(4,2)*c(2,2)/2！=33 把6件不同的奖品分成三堆（堆相同，不计次序），一堆1件，一堆2件，一堆3件（不平均分），有几种分法？c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)=604 把6件不同的奖品分给甲，乙，丙三个人（人不一样，计次序），一人1件，一人2件，一人3件（不平均分），有几种分法？c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)*3!=360【思路总结】n个不同的元素，分成m个和n-m个两组（当然两组以上相同），有几种分
8、法？公式一：计次序（即组不一样）；平均分（即m=n-m) (也可以写成n!/m!*(n-m)!)公式二：计次序（即组不一样）；不平均分 2！（2！是组数的阶乘）公式三：不计次序（即组看成一样，无区别）；平均分/2！ 公式四：不计次序（即组看成一样，无区别）；不平均分这四个公式是这类问题的万能公式，关键在于搞清是不是平均分，计不次序，学会了这类问题就迎刃而解了，但是要活学活用，不能死套例如：把9本书分甲2本，乙3本，丙4本，有几种分法？从题上看是不平均分，计次序，应该用公式二，但是次序已经固定了，甲2本，乙3本，丙4本，应该用公式四，c(9,2)*c(7,3)*c(4,4)=1260.公式一与公
9、式四的结果一样。7、 假设当鱼塘中有X公斤鱼时,每公斤鱼的捕捞成本是2000/(10+X)元,已知鱼塘中现有鱼10000公斤,问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需要花费多少成本?答案:2000*ln(10010/4010) 【思路】所求成本= = 2000*ln(10010/4010)8、设某工厂生产某型号的车床,年产量为A台,分若干批进行生产,每批生产准备费为B元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半,设每年每台库存费为C元,问如何选择批量,使一年中库存费与生产准备费之和最小. 【思路】一年中库存费=XC/2一年生产准备费=BA/X所求的和= XC/2+ BA
10、/X2 = 当XC/2=BA/X 即X=时取等号9、设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定T=0)就售出,总收入为R0元,如果窖藏起来待来年按陈酒价格出售,T年末总收入R(T)= R0元,假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少煎售出可以使总收入的现值最大. 答案:T0=1/(25*r2) 【思路】复利意义：现在1元年利率2%，则一年后1*（1+0.02）1；二年后1*（1+0.02）1 *(1+0.02) 1=1*(1+0.02) 2第n年后有1*（1+0.02）n元，现值也就是多少年后的1元钱相当于现在的多少元钱，即设第n年后的1元，则1=x*(1+0.02) n其中的x就是
11、第n年后1元的现值。设T年末总收入的现值f(T)，则f(T)= R0/（1+r) T)10、在一大批元件中只有40%合用的,现一个个的随机从中取元件,取到5个合用的为止,记 X 是所取的元件总数,求 X 的期望和方差. 【思路】设第一次取到合用的为止共取x1个元件，从第一次取到合用到取到第二个为止取了x2个元件，从第二次取到合用到取到第三个为止取了x3个元件，从第三个取到合用到取到第四个为止取了x4个元件，从第四次取到合用到取到第五个为止取了x5个元件，这五个事件相互独立，且符合参数为0.4的几何分布，故Xi=1/0.4则X=X1+X2+X3+X4+X5X=X1+X2+X3+X4+X5=5/0
12、.4（其实你只是需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：几何分布 EX= EX2= DX=）11、5张牌，分别是2.3.4.5.6点，从中任意摸出3张，以X表示出3张牌中点数的最大值，求X的分布率。 【思路】P（X=4）=1/C（3，5）=0.1。 P（X=5）=C(2,3)/C（3，5）=0.3，P（X=6）= C(2,4)/C（3，5）=0.612、某射手对同一目标进行射击，直到击中r次为止，记X为所用射击次数，已知他的命中率为p,求E（X），D（X）答案E（X）=r/p D(X)=r(1-p)/p2 D（X） 【思路】把开始到第一次射中设为x1，一二之间设为x2，依
13、次类推直到Xr则X=X1+X2+Xr，这r个事件两两独立，符合几何分布E（Xi）= 1/p D（Xi）=q/（p2）则E（X）= E（X1）+ E（X2）+ E（X3）+E（Xr）=r/pD（X）= D（X1）+ D（X2）+ D（X3）+D（Xr）=r（1-p）/(p2)注：你需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了：几何分布 EX= EX2= DX=可以自己推算的。13、设f(x)在定义域内严格单调，可导，且f(x)不为0,已知: f(1)=-2 f(1)=-1/根下2 f(1)=2 求: 14、n阶A（a1,a2,.aN）,n阶B(a1+a2,a2+a3,.aN+A1
14、)若R（A）=n，判断Bx=0是否有非0解？为什么？ 【思路】求行列式B的值：/B/=/a1+a2,a2+a3,an+a1/=/a1,a2+a3,an+a1/+/a2,a2+a3,an+a1/ 对分解后的第一个行列式,用-1*a1加到第n列(an+a1),用得到的新的第n列的-1倍加到前一列,如此直到第二列可得到/a1,a2,an/;对后一个可用第一列的-1倍加到第二列,再用新得到的第二列的-1倍加到第三列,如此直到第n列可得/a2,a3,an,a1/=(-1)(n-1)/a1,a2,an/ 所以/B/=/A/+(-1)(n-1)/A/ 因R(A)=n 即/A/0当n=2k+1时/B/=2/A/0 当n=2k时/B/=0 k=0,1,2所以当n为奇数时BX=0只有零解,当n为偶数时有非零解15、设V1，V2，V3是AX=0的一个基础解系，则（ A ）也是AX=0的基础解系。A、V1，V2-V1，V3-V1B、V1，V1+V2C、V1+V2，V2-V3，V1+V3D、V1+V2，V2+V3，V3+V1，V1+V2+V3答案是A，但是C为什么不对。 【思路】(V1+V2)-(V2-V3)-(V1+V3)=0相关则肯定不是基础解系。16、设A为n阶方阵，且r(A)=n-1, 如果a1,a2是Ax=0的两个
