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1、3.3 导数在研究函数中的应用（3）A级基础巩固一、选择题1函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是(A)A12；8B1；8C12；15D5；16解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时y1，x1时y12，x1时y8.ymax12，ymin8.故选A2函数f(x)x33x(|x|1)(D)A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析f (x)3x233(x1)(x1)，x(1,1)，f (x)0，即函数在(1,1)上是单调递减的，既无最大值，也无最小值3函数f(x)3xx3(x3)的最大值为(B)A18B2 C0
2、D18解析f (x)33x2，令f (x)0，得x1，x1时，f (x)0，1x0,1x3时，f (x)0，得0x1，令f(x)0，得1x0，得3x4或0x1，令f(x)0，得1x3.f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，当x1时， f(x)取极大值f(1)4，当x3时， f(x)取极小值f(3)0.又f(0)0，f(4)4，f(x)max4，k4.B级素养提升一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为(A)ABCD解析f (x)13x20，得x0,1，f，f(0)f(1)0.f(x)max.2已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上
3、图象连续不断且f (x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(A)Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析令u(x)f(x)g(x)，则u(x)f (x)g(x)0，u(x)在a，b上为单调减少的，u(x)的最大值为u(a)f(a)g(a)3设在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间a，b上存在导数，有下列三个命题：若f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值必是a，b上的极大值；若f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值必是a，b上的极小值；若f(x)在a，b上有最值，则最值必在xa或xb处取得其中正确的命题个数是(A)A0B1C2
4、D3解析由于函数的最值可能在区间a，b的端点处取得，也可能在区间a，b内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题4当x0,5时，函数f(x)3x24xc的值域为(C)Af(0)，f(5)Bf(0)，f()Cf()，f(5)Dc，f(5)解析f (x)6x4，令f (x)0，则x，0x时，f (x)时，f (x)0，得f()为极小值，再比较f(0)和f(5)与f()的大小即可5(2016黑龙江哈三中期末)已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(D)A15B16C17D18解析x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，即x2是f(
5、x)3x23a0的根，将x2代入得a4，所以函数解析式为f(x)x312x2，则由3x2120，得x2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当x2时函数f(x)取得极大值f(2)18.故选D二、填空题6函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值的和是_10_.解析f (x)6x26x12，令f (x)0，解得x1或x2.但x0,3，x1舍去，x2.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f (x)12024f(x)5154由上表，知f(x)max5，f(x)min15，所以f(x)maxf(x)min10.
6、7函数f(x)ax44ax3b(a0)，x1,4，f(x)的最大值为3，最小值为6，则ab.解析f (x)4ax312ax2.令f (x)0，得x0(舍去)，或x3.1x3时，f (x)0,3x0，故x3为极小值点f(3)b27a，f(1)b3a，f(4)b，f(x)的最小值为f(3)b27a，最大值为f(4)b.解得ab.三、解答题8(2017全国文，21)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解析(1)解：f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x
7、) 在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)解：f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0)，因此h(x)在0，)单调递减而h(0)1，故h(x)1所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)单调递增而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)C级能力提高1已知f(x
8、)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_.解析f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y最小值f(3)abc0.0abc4，a，b，c都大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0.正确结论的序号是.2(2017山东文，20)已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解析(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h
