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1、.经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进展操作.解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为当，时，平均变化率的值为：.总结升华：解答此题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5*2+6在区间2，2+的平均变化率。【答案】，所以平均变化率为。【变式2】函数，分别计算在以下区间上的平均变化率：11，3；21，2；31，1.1；41，1.001.【答案】14；23；32.1；42.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3
2、s到3.1s，3.01s，3.001s各段的平均速度位移s的单位为m。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。设在3，3.1的平均速度为v1，则，。所以。同理。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.【答案】3.31当时类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在*=1处的导数。解析：。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】函数1求函数在*=4处的导数.2求曲线上一点处的切线方程。【答案】1，2由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，所求切线的斜率为。所求切线方程为，整理得5*+
3、16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求以下函数的导数：1；2；3；4。【答案】1，。2，。3，。4，。例3、求曲线y=*3+2*在*=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=*3+2*在*=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将*=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设.由f(1)=3，故切点为1，3，切线方程为y3=5(*1)，即y=5*2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出导函数在处的导数即过点的切线的斜率， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=*2上过哪一点的切线：1平行于直线y=4*
4、5；2垂直于直线2*6y+5=0；3与*轴成135的倾斜角。【答案】，设所求切点坐标为P*0，y0，则切线斜率为k=2*01因为切线与直线y=4*5平行，所以2*0=4，*0=2，y0=4，即P2，4。2因为切线与直线2*6y+5=0垂直，所以，得，即。3因为切线与*轴成135的倾斜角，所以其斜率为1。即2*0=1，得，即。例4函数可导，假设，求解析： 令t=*2，*1，t1举一反三：【变式】函数可导，假设，求【答案】类型三：利用公式及运算法则求导数例5求以下函数的导数：1； 23； 4y=2*33*2+5*4 解析：1.2.3，.4总结升华：熟练掌握导数根本公式，仔细观察和分析各函数的构造规
5、律，选择根本函数求导公式进展求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进展恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求以下函数的导数：1； 23y=6*34*2+9*6【答案】1.2.3例6求以下各函数的导函数1；2y=*2sin*; y=； y=解析：1法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2*(2*3)+(*2+1)2=6*26*+22y=*2sin*2sin*=2*sin*2cos*=4=举一反三：【变式1】函数在处的导数等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一：.法二：.【变式2】以下函数的导数1；2【答案】1法一：法二：
6、 =+2【变式3】求以下函数的导数.1； 2；3.【答案】1，.2，.3，.类型四：复合函数的求导例7求以下函数导数.1；2；3；4.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：1，.2，3，.4，.总结升华：复合函数的求导，一定要抓住中间变量这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； 求复合函数的导数的方法步骤：1分清复合函数的复合关系，选好中间变量；2运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；3根据根本函数
7、的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式1】求以下函数的导数：(1)； 23y=ln*； 4【答案】(1)令,2令3=4类型五：求曲线的切线方程例8求曲线y=*3+2*在*=1处的切线方程.解析：，*=1时，y=3，切点为1，3，切线斜率为5切线方程为y3=5(*1)，即y=5*2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出函数的导函数 求出导函数在处的导数即过点的切线的斜率， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：切线的斜率.切线方程为，即.【变式2】，是曲线上的两
8、点，则与直线平行的曲线的切线方程是_.【答案】的导数为.设切点，则.的斜率，又切线平行于，切点，切线方程为，即.【变式3】曲线.1求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；2第1小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】1将代入曲线的方程得，切点.，.过点的切线方程为，即.2由可得，解得或.从而求得公共点为，或.切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例9直线为曲线在点1，0处的切线，为该曲线的另一条切线，且.1求直线的方程；2求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：1，直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.2解方程组 得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为1，0、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的*一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为切线在点的斜率为切线与直线平行， 斜率为4，或切点为1，-8或-1，-12切线方程为或即或【变式2】曲线在点1，1处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_.【答案】由题意，切线的斜率为，切线方程为，与轴交点为，直线的交点为2，4，.【变式3】曲线在0，1处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知，曲线在0，1处的切线的斜率该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.
