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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形的经典模型（一） 题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（AC=BC或）.如图1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 典题精练【例1】 已知：如图所示，RtABC中，AB=AC，O为BC的中点，写出点O到ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断OMN的形状，并证明你的结论.如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断中结论是否
2、依然成立，如果是请给出证明【解析】 OA=OB=OC连接OA,OA=OC AN=CMANOCMO ON=OM OMN是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形，证明：BAC=90，AB=AC，O为BC中点BAO=OAC=ABC=ACB=45，AO=BO=OC，在ANO和CMO中，ANOCMO（SAS）ON=OM，AON=COM，又COMAOM=90，OMN为等腰直角三角形【例2】 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，试判断的形状，并说明理由【解析】是等腰直角三角形证明：连接由题意，得 为等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如
3、图，中，是的中点，于，交于，连接求证：【解析】 证法一：如图，过点作于，交于，在和中，在和中，证法二：如图，作交的延长线于，在和中，在和中，【例4】 如图，等腰直角中，为内部一点，满足，求证： 【解析】 补全正方形，连接DP，易证是等边三角形，【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，RtABC中，BAC=90，AB=AC，M为AC中点
4、，连结BM，作ADBM交BC于点D，连结DM，求证:AMB=CMD【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBFC，延长AD交CF于点N，ANBM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证RtABM RtCAN，AMB=CND，CN=AM，M为AC中点，CM=CN，1=2，可证得CMDCND，CND=CMD，AMB=CMD【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，RtABC中，BAC= 90，AB=AC，AD=CE，ANBD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定DEF的形状【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，AKBD，
5、可知AK=BD，易证:RtABDRtCAK，ADB=CKN，CK=AD，AD=EC，CK=CE，易证CKNCEN，CKN=CEN，易证EDF=DEF，DEF为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，RtABC中，A=90，AB=AC，D为BC上一点，DEAC，DFAB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC关于BC的对称的等腰RtGCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12【探究四】求线段长【备选4】如图，ABC
6、中，ADBC于点D，BAC=45，BD=3，CD=2，求AD的长【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BAC=45，若分别以AB、AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和RtADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】 以AB为轴作RtADB的对称的RtAEB，再以AC为轴作RtADC的对称的RtAFC可知BE=BD=3，FC=CD=2，延长EB、FC交点G，BAC=45，由对称性，可得EAF=90，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE
7、为正方形，且边长等于AD，设AD=x，则BG=x3，CG=x2，在RtBCG中，由勾股定理，得，解得x=6，即AD=6【探究五】求最小值【备选5】如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB关于AB对称的RtADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=题型二：三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】 已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE
8、；若将CDE沿CB方向平移得到等不同情形， 其余条件不变，试判断ACC1E这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 在与中（SAS）,即ACCE 图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 ACC1E典题精练【例5】 正方形中，点、的坐标分别为，点在第一象限求正方形边长及顶点的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】 过点C作CGx轴于G，过B作BEy轴于E，并反向延长交CG于F点、的坐标分别为，BE=8， AE=6，AB=10四边形ABCD是正方形，AB=BC AEBBFCCF=BE=8，BF=
9、AE=6 CG=12 EF=14C(14，12)，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：【例6】 如图所示，在直角梯形中，是的中点， 求证：； 求证：是线段的垂直平分线； 是等腰三角形吗？请说明理由 【解析】，是中点，由得：，由等腰三角形的性质，得：即是线段的垂直平分线是等腰三角形，由得：，由得：，是等腰三角形巅峰突破【例7】 如图1，ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P请你补全图形，并直接写出APD的度数= ；如图2，RtABC中，B=90，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P请你猜想AP
10、M= ，并写出你的推理过程【解析】 图略，6045证明：作AEAB且.可证， 是等腰直角三角形, 又AEC CAN（SAS） ECAN. 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图，ACB、ECD均为等腰直角三角形，则图中与BDC全等的三角形为_.【解析】 AEC【练习2】 如图，已知中，是的中点，垂足为，交的延长线于点求证：【解析】 ，又，是的中点，即题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（ADAB），点E在BC上，且AE =AD，DFAE，垂足为F请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明FADCEB【解析】 经探求，结论
11、是：DF = AB 证明如下：四边形ABCD是矩形， B = ， ADBC， DAF = AEB DFAE， AFD = ， AE = AD ， AB = DF【练习4】 如图，中，是上任意一点，交延长线于，于求证：【解析】 根据条件，、都与互余，在和中，则，【练习5】 四边形ABCD是正方形如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BFAG于点F，DEAG于点E求证：ABF DAE；在中，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BFAG于点F，DEAG于点E那么图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)【解析】 在正方形ABCD中，AB=AD，在ABF和DAE中（AAS）ABFDAE课后测测试1. 问题：已知中，点是内的一点，且，探究与度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明当时，依问题中
