计数问题规律探索优秀获奖科研论文

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1、计数问题规律探索优秀获奖科研论文 计数问题，就是数数问题,当数目很小时,数的仔细些就能数对;数目不是很大时,找对规则也一定数不错;但当数目很大时,就要有一定的技巧才能做到又快又对. 常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理、列表法、归纳猜想法、分类讨论法等 对于计数问题,常用到高斯求和公式：1+2+3+n= （n+1）n. 一、枚举法 例1如图1，ABCD是一个正方形，边长为2 ，沿着图中线段从A到C的最短长度为4 .这样的最短路线共有多少条？请一一画出来. 解：将各种路线一一列出，可知共6条，见图2. 二、利用加法原理和乘法原理 加法原理做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m1种方法

2、，第二类中有m2种方法，第n类办法中有m种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m种不同的方法. 例2从甲地到乙地可乘火车，也可乘汽车或轮船.一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法：第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法.第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法.第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法.由加法原理得：4+2+3=9（种） 乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，第n个步骤有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1

3、m2m种不同的方法. 例3由数字1、2、3、4、5可组成多少个允许有重复数字的三位数？ 解：组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步骤完成：第一步确定百位上的数字：有5种不同方法.第二步确定十位上的数字：有5种不同方法.第三步确定个位数字：有5种不同方法.由乘法原理：555=125（个）. 三、列表法 列表可简单明确地反映题目中数量关系、计算的过程，既可提高效率、减少和避免错误，又有利于检查分析数据、得出正确的实验结论 例4三边都是正整数，且最长的边为11的三角形有多少个？ 解：设a，b，c 为三角形的三边，且abc，则c=11又a+b>c,从而2b>11，所以6b11，我们按b

4、的取值列表： 所以满足条件的三角形共有：1+3+5+7+9+11=36（个） 四、归纳猜想法 归纳猜想就是先对几种简单情形进行分析，然后从中归纳猜想出一般的规律,再进行推广. 例51条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分 （1） 8条直线最多能把平面分成多少部分？ （2）n条直线最多能把平面分成多少部分？ 解：1条直线最多将平面分成2个部分：S=1+1 2条直线最多将平面分成4个部分：S=1+1+2 3条直线最多将平面分成7个部分：S=1+1+2+3 现在添上第4条直线它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以4条直线最多将平面分成 7+4=11个部分：S=1+1+2+3+4 依此类推：8条直线最多将平面分成的部分数：S=1+1+2+3+4+5+6+7+837（个） n条直线最多将平面分成的部分数：S=1+1+2+3+n= 五、分类讨论法 分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论 “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”