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1、北师大版数学精品教学资料二. 教学目的1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。三. 教学重点、难点【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，
2、并掌握这些定理的应用。四. 知识分析（一）平面的基本性质与推论1. 平面的基本性质（1）关于公理1三种数学语言表述：文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。图形语言表述：如图1所示 图1符号语言表述： 内容剖析：公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。（2）关于公理2公理2的三种数学语言表述：文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有
3、且只有一个平面。图形语言表述：如图2所示 图2符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面，使.内容剖析：公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“
4、有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。公理2的作用： 作用一是确定平面；作用二是可用其证明点、线共面问题。（3）关于公理3 公理3的三种数学语言表述：文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述：如图3所示。图3符号语言表述： 公理3的剖析： 公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于
5、本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。公理3的作用：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。2. 平面的基本性质的推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。请同学们想一想：三个推论的图形语言如何表示呢？三个推论的符号语言如何表述呢？三个推论有何作用呢？推论2的证明推论2：经过
6、两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线求证：经过直线a、b有且只有一个平面。【证明】（1）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面（公理2）。图4又（公理1）平面是过相交直线a，b的平面。（2）如果过直线a和b还有另一平面，那么A,B,C三点也一定都在平面内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 、了，这与公理3矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。综上知，过直线a、b有且只有一个平面。3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质（1）点与平面的位置关系：点A在平面内，记作A；点A不在内，
7、记作； （2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面内，记作 ;直线 m 不在平面内，记作；（3）平面与平面 相交于直线a，记作 ；（4）直线 m 和 n 相交于点A，记作。4. 学习时应注意的几个问题学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法斜二测画法。要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。5. 几种常见题型的解法（1）证明直线在
8、平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。（二）平面中的平行关系1. 平行直线（1）空间两条直线的位置关系相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行：在同一平面内，没有公共点。（2）初中几何中的平行公理： 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 【说明】此结论在空间中仍成立（3）公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行即：如果直线a / b,c / b，那么a / c。 【说明】
9、此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。2. 等角定理 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。 |m （1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。 （2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。3. 空间图形的平移 如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F的位置，则说图形F在空间做了一次平移。
10、注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变。 图形平移有如下性质： （1）平移前后的两个图形全等； （2）对应角的大小平移前后不变； （3）对应两点的距离平移前后不变； （4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变； （5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。4. 证明空间两直线平行的方法 （1）利用定义5. 直线与平面平行（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号表示为：（）该定理常表述为：“线线平行，则线面平行。”（）用该定理判断直线a和平
11、面平行时，必须具备三个条件：直线a不在平面内，即 。直线b在平面内，即。两直线a、b平行，即a / b。这三个条件缺一不可。m（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行。符号表示：若 ,则a / b, 即“线面平行，则线线平行”。【说明】a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理b. 定理中有3个条件：直线a和平面平行，即a /；平面、相交，即b；直线a在平面内，即 。三者缺一不可。 （4）线面平行定理的应用应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外相互平行的直线。应用线面平行性质定理解题的关键是利
12、用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。6. 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分： 如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合； 如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线； 如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行。由此可知两个不重合的平面的位置关系：（1）平行没有公共点； （2）相交至少有一个公共点（或有一条公共直线）。 7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 已知：、，（如图所示） 求证： 证明：
13、用反证法 假设 ， 同理有 由公理4知，这与相矛盾。 注意：（1）此定理用符号表示为 （2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于。 （3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。” 8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 已知：，平面，（如图所示） 求证： 证明： 没有公共点，而，、没有公共点 又、， 注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用。 （2）面面平行的性质还有： 这条性质同时是线面平行的一种判定方法。 夹在两平行平面间的两条平行线段
14、相等。 对三个平面 这是平面平行的传递性。 9. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。【典型例题】 例1. 用符号表示下列语句，并画出图形。 （1）三个平面相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC。 （2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。 （3）直线a和b相交于平面内一点M。 解析：（1）符号语言表示： ， 图形表示：如图 （2）符号语言表示： 平面ABD平面BDC=BD， 平面ABC平面ADC=AC 图形表示：如图 （3）符号语言表示：，。图形表示：（如下图中三个图）。 点评：理解数学符号的含义，学会并养成用符号语言和图形语言表示文字叙述语句的习惯，
