《例某机械传动装置在静止状态时如图所示.连杆PB与点B运》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例某机械传动装置在静止状态时如图所示.连杆PB与点B运（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例 某机械传动装置在静止状态时，如图所示连杆PB与点B运动所形成的交于点 A，测量得PA=4cm , AB=5cm , O O半径为4.5cm .求点P到圆心O的距离.D解：连结PO并延长，交O O于点C、D .根据切割线定理的推论，有PA PB=PC PD./ PB=PA+AB=4+5=9 , PC=PO-4.5, PD=PO+4.5, (OP _4.5)(OP 4.5) =4 9, OP2 = 36 20.5 = 56.25 , OP= _7.5 .又OP为线段，取正数得 OP=7.5 (cm).点P到圆心O的距离为7.5 (cm).说明：割线定理的在计算中的简单应用.PA= 4cm, 0
2、P= 5cm,例 已知：如图，AB是O O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm, 求O O的半径.分析：由P为AB上的一点，且巳知 PA、PB故联想到相交弦定理，所以需把 OP向两 方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之.解：向两方延长OP，分别交O O于C、D由相交弦定理有：BP AP=CP DP设CO=x，则(10 _4) 4 =(x 5)(x -5)解得：X = 7 , CO0 , CO=7 (cm) 答：O O半径为7cm.说明：相交弦定理的简单应用；作辅助线构成基本图形.例 已知：如图，在 ABC中，/ C=90 , BE是角平分线, BDE的外接圆。(1)求证AC是O O
3、的切线;(2)若 AD=6 , AE=6 2，求 DE 的长。DE丄BE交AB于D ,O O 是(1):连结OE/ BE是/ ABC的平分线，/ 仁/ 2, 又/ BED= / C=90,.A BCEBED , / 4= / 3,又 OE=OB，/ 1 = / 5,./ 4+Z 5= / 1 + Z 3=90 OE丄AC , AC是O O的切线.证明(2)T AE 是O O 的切线，AE=6 2 , AD=6 , AE2 =AD AB ABAD (6、2)26=1222 BD=AB-AD=12-6=6/ AED= / ABE，/ A= / AAED ABE ,DEBEAEAB6 21222设
4、DE= 2x , BE=2x , DE2 BE2 =BD2, 2x2 4x36 ,2得 x =. 6 （负的舍去），二 DE = . 2 、. 6 = 2. 3 .说明：此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形; 此题是与切割线定理有关的计算综合问题.例 如图，PA切O O于A，割线PBC交O O于B、C两点，D为PC的中点，连 AD并延长交O O 于 E,已知：BE2 二 DE EA .求证：(1) PA=PD ;2(2) 2BP =AD DE .分析：(1)易证/ PAD= / PDA ;PB=BD .(2)关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出 证明：连
5、结AB在厶DBE和厶BAE中，/ BE2 =DE -EA 即 BE = EADE BE 又/ BED= / AEB , DBE BAE/ 2=Z 3/ PA 切O O 于 A，/ 仁/ E又/ PAD= / 1+ / 2,Z PDA= / 3+ / E ./ PAD= / PDA , PA=PD .2由切割线定理知， PA = PB PC ,又 PA=PD , PD=DC , (PB BD)2 =PB 2(PB BD), PB=BD .又ADDE =BD DC （相交弦定理），2DC=2PB , BD=PB , 2BP =AD DE .说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定
6、理、相似角形，利用等式 性质证明线段的中点.典型例题五例 （北京市宣武区，2002）已知：CF是O O直径，CB为O O的弦，CB的延长线与 过点F的O O的切线交于点 P.（1）如图所示，若 P =45 ,PF -10，求O O半径的长；(2)如图所示，若 E为BC上一点，且满足PE2二PB PC ,连结FE并延长交O O于点A，求证：点A为、的中点分析：证明 亡-兄志，可以有两种证法：一可以证明 结论，二可证明.1 =/2，由圆周角定理结论可证.解：(1)v CF是O O直径，PF切O O于点F,CF _ PF 又 /P =45 ,二 NC=45；CF =PF =10, O O的半径的长为
7、5.(2)证法一：连结 OA./ PF为O O切线，PBC为O O割线，pf2=pbpc.又 PE2 二 PB PC ,PF 二 PE PFE= PEF.又. PFE CEA ,二 NPFE =NCEAOF =OA,二 NOFA=NA,二 NA+CEA=NOFA+NPFE =90：OA_BC, 点A为*中点证法二：连结FB.同证法一可得PF二PE ,PFE= PEF PF BO O 于点 F,PFB C ,OA _ BC，由垂径定理即可证明又 PFE PFB 2 ,.PEF =. C . 1 ,.1=/2, y; 刖即点A为中点C, PD _ AB于点D, PD、AO的延长线相交于点 E,连结
8、CE并延长CE交O O于点F , 连结AF.典型例题六例 （北京市崇文区，2002）已知：如图，PA切O O于点A，割线PBC交O O于点B、1. 求证：lPBD s 二 PEC ；22. 若 AB =12,tan. EAF =，求O O 半径的长.3证明：1 .v PA切O O于点A,PA2 二 PB PC.O 在 AE 上， PA_AE.PE _ AB 于 D,PAD s .，PEA.PD PAPA 一 PE PA2 二 PD PE.PB PC 二 PD PE.PB PDPE 一 PC.11,PBD s . ：PEC .2.v =PBD s l PEC ,2 3.匸 2=午二 N3 = N
9、F.PE/AF.作 OG _ AB 于 G,则 AG = 1 AB = 112 =6 ,2 20G ED FA,NAOC=NEAF.AG 2 在 Rt.：AOG 中，tan. AOG.OG 3OGOG =9.2 2 2- AG OG -AO ,AO =、62 92 . 117 =3、13. O O的半径长为3.13.说明：这是一道综合性较强的几何题，对于几何题目难点是作辅助线。典型例题七P例 如图，6ABC内接于O O，P为O O外一点，作.CPD =/A，使PD交O O于 E、D两点，并与AB、AC分别交于点M、N .(1) 求证：DN NE(2) 若PD/CB，求证：PC是O O的切线.分
10、析：(1 )由相交弦定理，DN N AN NC因此待证式(1 )可化为AN NC = MN NP，即加,这只需证明AMN PCN ( 2)连OC，则PC是O O的切线条件是 OC _ PC，这只需证明 PCO二90 .证明 (1)由相交弦定理，得 DN -NE =AN NC在AMN与PCN中,MAN =/P , ANM PNCAMN s PCN ,ANNPMNNC，即 AN NC =MN NP故 DN NE 二 MN NP(2)过 C 作O O 的直径 CD，连结 BD，则.ACD 二 ABD , CBD 二 90PD/ BCACP 二 AMN 二 ABCPCD =/PCA ACD ABC A
11、BD CBD =90 ,OC PC故PC是O O的切线.说明：本题涉及知识点全面，体现了常用的证题方法，是一道优秀的选题典型例题八例已知如图，点C是O O外一点，过C作O O的切线CB和CD ,切点分别为cD，连BO并延长交O O于点E ,交CD的延长线于A，若AD二m AE，且tan2求m的值.分析:Ab由切割线定理得：AD2二AE AB，而AD = m AE，因此有 竺二mAD=OB，再由比例线段，找出BC+ c 1 tan 23解连结OD、OC ,-AC为O O的切线，AB与OB之间的关系即可.BCAD2.AD 二 AE AB ,AC、BC为O O的切线,112ACBOBBC2acb在
12、Rt ABC 中，tan _ 1 = tan2AC为O O的切线，CD为半径，OD _ AC 同理，AB _ BCADO s . ABCADO 二 ABC =90 ,ODADBCABOB1OD= OB,BC3，AD1 ,有AB-3 ADAB3AD2=AE AB=AE 3ADA为公共角，.AD =3AE又 AD = m AE , . m = 3说明：题中有从圆外引圆的两条切线时，常把圆心与这点连结起来利用切线长定理证题典型例题九例 如图，Rt.lABC中，.C =90 ，CD =6，以CD为直径的圆切 AB于G，设AG? = y， AC = x.求y与x的函数关系式(x为自变量)分析：本题着重考
13、查切割线定理与一元二次函数的基础知识解 由切割线定理知， AG?二AD AC AG $ = y， AC = x， AD = AC - 6 = x - 6y =(x -6)x即 y = x?6x(x 6)说明：本题是1996年山东省中考试题的第一问，它将圆幕定理、二次函数等重要知识 融为一体典型例题十例(辽宁省试题，2002)已知：如图，O P与 x轴相切于坐标原点 O,点A (0, 2)是O P与y轴 的交点，点 B(-2、. 2,0)在x轴上，连结 BP交O O于点C,连结AC并延长交x轴于点Do(1)求线段BC的长;(2)求直线AC的函数解析式;(3)当点B在x轴上移动时，是否存在点B,使 BOP相似于 AOD ?若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由。 解：（1 ）解法一：由题意，得0P = 1, B0 = 22, CP = 1，在 Rt . ：BOP 中， BP2 =0P2 BO2，- (BC 1)2 =12 (2 一2)2 BC =2解法二：延长BP交O P于G,由题意，得OB =2.、2,CG =22OB 二 BC BG,.(2、. 2)2 二 BC (BC 2)BC =2(2)过点C作CE _x于E, CF _ y轴于F在 PBO 中， CF / BO , CFBOPC PB，即CF解得CF二32同理可求得CE =三3Z 2丘
