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1、细心整理圆中常用帮助线遇到弦时解决有关弦的问题时时时添加弦心距，或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径. 作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，依据勾股定理求有关量.例1 如图1，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点.求证：.图1图2证明 过作于 为圆心， 练习 如图2，为的弦，是上的一点，.求的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2 如图，确定是的直径，、分别是、的中点，,.图3二连结、如图3.请自己完成证明过程.求证： 证明：一连结、 、分别是、的中点, 、. , .
2、 ,、,. .3.有弦中点时常连弦心距例3 如图4，确定、分别是的弦、的中点,，求证：.证明 连结、.(其余证明过程略，请自己补充完整)4.有弧中点或证明是弧中点时，常有以下几种引帮助线的方法：连结过弧中点的半径；连结等弧所对的弦；连结等弧所对的圆心角例4 如图5，确定、分别是的半径、的中点，为弧的中点，求证：.图5图4证明 连结OC C为弧AB的中点 AOC =BOC D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO, . ODCOEC. CD = CE.5.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.图7图6例5 如图6，为的直径，为弦，为延长线上一点，且,的延长线交于，
3、求证：.证明 连结AD.AB为O的直径, ADP = 90o . AC = PC, AC = CD =AP.例6 如图7，P是O的弦CB延长线上一点，点A在O上，且.求证：PA是O的切线.证明 作O的直径AD，连BD，那么，即.所以.因为，所以，即.所以PA为O的切线.6.有等弧时常作帮助线有以下几种：作等弧所对的弦；作等弧所对的圆心角；作等弧所对的圆周角.练习：1.如图，O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M.求证：AMD =FMC(提示：连结BM)2.如图，ABC内接于O，D、E在BC边上，且BD = CE，1 =2，求证：AB = AC.7.有弦中点时，常构造三角形中位线.例7 确定如图8，在中，ABCD，OEBC于E，求证：OE =AD.图8证明 作直径CF，连结DF、BF. CF为O的直径, CDFD.又 CDAB , ABDF. . AD = BFOEBC, O为圆心, CO = FO. CE = BE. OE =BF. OE =AD.
