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1、福建师范大学21秋近世代数平时作业二参考答案1. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，在线性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有 |AB|=50-17=33 根据容斥原理 |AB|=|A|+|B|-|AB| |AB|=|A|+|B|-|AB|=
2、21+26-33=14 故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下： 2. 已知微分方程y&39;+P(x)y=Q(x)有两个特解，求满足条件的P(x)，Q(x)，并给出方程的通解已知微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个特解，求满足条件的P(x)，Q(x)，并给出方程的通解由，代入原微分方程，有 由，代入原微分方程，有 所以 从而可得， 即原微分方程为 由一阶非齐次线性微分方程通解公式，得 即原微分方程的通解为 (C为任意常数) 3. 设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试说明关系R不是传递关系。设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二
3、元关系，其关系矩阵试说明关系R不是传递关系。由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)R和(a2，a4)R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此说明R不是传递关系。4. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(
4、-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 5. 对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t(i=1,2，m), xj0(j=1，2，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：(1)maxs.t(i=1,2，m),xj0(j=1，2，n)；(2)maxst(i=1，2，m)，xj
5、0(j=1,2，n)，xsi0(j=1,2，m)；(3)st(i=1，2，m)，xj0(j=1,2，n)，xsi,xai0(i=1,2，m)，其中M表示充分大的正数它们的对偶问题都是 min s.t(j=1,2，n), u10(i=1，2，m) 注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的 6. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_正确答案：应填1分析利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得详解因A的特征值的乘积等于A，又A为3阶矩阵，所以2
6、A23A232348，故17. 奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )正确答案：8. 对于下列修正的Newton公式 设f(x*)=0，f(x*)0 试证明：该方法至少是二阶收敛的对于下列修正的Newton公式设f(x*)=0，f(x*)0试证明：该方法至少是二阶收敛的证明 设 因为f(x*)=0 且f(x*)0 所以x*是f(x)=0的单根 所以在xk与xk+f(xk)之间 f(x+f(x)-f(x)=f()f()f(x) 因为 且 所以所以迭代法收敛于x* 因为 所以 所以修正的Newton法至少二阶收敛 9. 在数域F上x23x2可以
7、分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0在数域F上x2-3x+2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： B10. 几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年正确答案： D11. 给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解给定微分方程组，其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解
8、不稳定取定正，有V=-(x2+y2)f(x，y)当f0时V定负，零解渐近稳定，而f0时V定正，零解不稳定12. 设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的密度分别为13. 60、13. 57、13.55、13.52(单位：t/m3)请估计当温度为15时，汞的密度为多少13.56t/m313. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客
9、户中至少提出一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%写出X的分布，并求X2500.12(即X30)的概率设各客户是否提出索赔相互独立按题意知Xb(250，0.10)现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 14. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f&39;()=0设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，可知f(x)在a，b上必定连续,设在(a，b上f(x)0，则由定积分
10、的不等式性质可知 与已知矛盾，这表明在(a，b上不可能总有f(x)0,相仿可证在(a，b上不可能总有f(x)0,因此必定存在一点c(a，b，使 f(c)=0在a，c上对f(x)利用罗尔定理可知至少存在一点，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，f(a)=0，如果能找到一点c(a，b，使f(c)=0，则利用罗尔定理可证所给命题,由(1)可知c必定存在 15. 设P(A)0，P(B)0，则_正确 A若A与B独立，则A与B必相容 B若A与B独立，则A与B必互不相容 C若A与B互设P(A)0，P(B)0，则_正确A若A与B独立，则A与B必相容B若A与B独立，则A与B必互不相容C若A与B互不相容，则A
11、与B必独立D若A与B相容，则A与B必独立A因为P(A)0，P(B)0，所以，若A与B独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0 从而AB，即A与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确 A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确 故应选A 16. 某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系正确答案：17. n阶微分方程F(x，y，y&39;，y(n)=0的通解应具有y
12、=_的形式n阶微分方程F(x，y，y，y(n)=0的通解应具有y=_的形式y(x，c1，cn)；18. 在区间0，1上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率PZ1/6在区间0，1上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率PZ1/6当0z1时，fZ(z)=2(1-z)PZ1/6=11/36经常将相遇问题作为几何概率的例题用二维随机变量的函数是另一种选择，题2中的概率就是一个相遇问题的解19. 已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，f(1，0)=1；f(tx，ty)=t2(x2-2xy+3y2)；20. 设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4 =D(X)+E2(X)+4E(X)+4=30 21. 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x2 (3) (4) (5) (6)求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)(2)x2(3)(4)(5)(6)令 F(x，y)x2y+3x4y3-4， 因为 所以 (2)令 因为 所以 (3)令 因为 所以
