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1、难点9立体几何中的“内切”与“外接”问题的探讨纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体发现，解
2、决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体ABCD-ABCD的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA，DD的111111中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A.2B.1C*1+2D*21.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为1.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接1a2b2c2球的道理是一样的，故球的半径R二2二2例
3、2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）A10nA.3B.4nC8nC.3D.7n3利用运动的观点.分祈在小球移动的过程中，进过部分的几何体因半径次1的小球拾好两棱长为2的正方朋的內切球，故小球经过空间由上往下看S1；半午小球、高再2的圆枉和半个小球，三部分的悴积沏；4ttj10xrX-+JTXrX2=JT.3231.3球与正棱柱例3正四棱柱ABCD-ABCD的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值,=4加匸磁屈兰龍3+2护4磁疋，故侧面积有最犬值，为4耘*当且仅当a=2b时等号賊立.2球与锥体规则的锥体，如正四
4、面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体2a266Rr二3a，R2，r2二CE2，解得：R=厶a,r二丄a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A.B.2+3C.4+3D.球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体
5、的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或苕长方体.常风两种形式：是三棱锥的三条侧棱互相垂直芥且相等，则可限补形術一个正肓也它的外接球的球心就是三橈锥的外接球的球心如图5,三棱锥4-1A的外捲球的球心和正方体abcd-的外接球的球心重合-役曲严则农二.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等贞|可说补形2为一个长育体，它的外接球的球心就是三棱链的外接球的球心.史仝+3+亡=为扶片体的体对甬线長）.44例5在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是棱S
6、C、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA，23,则正2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）4兀A.兀B.C.4兀D.33解；如图7所示，过P点作底面屈C的垂练垂足再。
7、，设円酋外接球的球-卜连AH,AQr因ZPA0=PA=3,故A0=-,P0=,又AHO再直角三角形，22图7AH二AH二肘+0吐:.F二）2+（?_门2广二1,二厂二上兀黑尸二3充2233SC接球的球心，则R=2厶例7矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积是（）125125125125A.兀B.兀C.兀D.兀12963給由题育分析可知，四面ABCD的外拷球的球心落在*U的中点，OA=OD=OB=OC,AC54p3125.R=,VtvBjjt.22363球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间
8、想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一,2半：r=a.4例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥劭骨架内，使皮球的表面28根铁丝都有接触点则皮球的半径为A.lO-VcmB10mC.10血也1D.3(km图10综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
