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1、-短程赛跑中运发动速度变化情况摘 要 本文就讨论短程赛跑过程中速度变化情况的问题参考了Keller的赛跑模型建立了动态优化数学模型. 在赛跑路程确定的前提下，通过利用最优化原理，建立动态规划模型对运发动在短程赛跑过程中速度与时间的关系进展了讨论，得到在赛跑过程中速度受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，并假定冲力满足微分方程关系式，内外阻力与速度成正比.针对问题一，根据条件求解微分方程，并根据牛顿运动第二定理得出速度关于时间的表达式为；路程满足的表达式为；再通过MATLAB对问题二表格中的数据进展非线性拟合，求解出运发动在赛跑过程中到达最大速度的时间为；最后由已求得的数据得出速度关于时
2、间的最终表达式，并利用MATLAB的plot函数作出了的示意图，发现在赛程的进展一段时间后，运发动的速度能到达极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运发动的速度会越来越慢，较符合实际情况；针对问题二，将表格中的数据逐个代入到速度关于时间的最终表达式中，即可算出速度的理论值，再将理论值与实际值进展比较、总结，得到最终表格，并发现理论值与实际值的误差很小，说明得出的理论表达式较为准确.关键词 跑步速度 阻力系数 最大冲力 冲力限制系数 非线性曲线拟合一、 问题重述经研究发现在短跑比赛中，运发动由于生理条件的限制在到达一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力. 假设运
3、发动抑制生理限制后能发挥的冲力满足,是冲力限制系数，为最大冲力. 问题： 1试建立模型求出短跑比赛时速度和距离的表达式，及到达最高速度的时间，作出的示意图. 2 *届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离处所用的时间和当时的速度如下表所示平均值：s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22试从这组数据算出的理论值与实际数据比较. 你对这个模型有什么解释和评价. 二、 问题
4、分析运发动在赛跑过程中速度由于受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，会随着时间的变化而变化. 在距离一定的前提下，运发动身体所能提供的冲力越大，受到的内外阻力越小，则赛跑过程中所能到达的最大速度越大，成绩越好. 冲力的能量来源主要是呼吸作用产生的能量以及人体储存的能量，前者可以假设保持一定，而后者会随着时间的增加而不断消耗，因此在赛跑时运发动的冲力会不断减小，同时内外阻力会随着速度的增加而增加，由此可以得出在赛跑过程中的速度随着时间的变化先增大，在到达最大速度之后则会有所减少. 在讨论问题过程中，认为阻力与速度成正比，运发动的质量为单位质量. 针对问题一，由于运发动抑制生理限制后能发挥
5、的冲力满足的微分方程，可知等式两边关于自变量积分求出冲力关于时间的关系式；运发动在赛跑过程中的内外阻力满足；则根据牛顿第二定理,即可求出运发动比赛时速度关于时间的表达式；再根据,对关于积分，即得距离关于时间的表达式； 由于得到的表达式是关于自变量及参数的函数，并且运发动不一定就在问题二表格中的*一点恰好到达速度最大值，故要求出到达最高速度的时间，就要通过问题二中的数据利用MATLAB进展非线性拟合，得出拟合函数再进展求导计算，同时求解出拟合出的参数估计值，求解参数准确值时要作为迭代初值；要作出的示意图，就要根据得出关于参数的表达式，并将在进展拟合时求得的到达时的时刻和路程，同时带入到表达式中，
6、再利用MATLAB的fsolve函数求解该三元方程组，得出参数的实际值迭代初值即为)，得到确实定表达式，最后利用MATLAB的绘图功能进展绘图. 针对问题二，由于在问题一中已经通过讨论得到了确实定表达式，分别带入表格中的数据，得到速度的理论值，再与表格中的数据进展比较，最后对模型进展合理的解释与评价. 三、 模型假设1. 赛跑时体内外的阻力与速度成正比，比例系数为,运发动能发挥的最大冲力为,初速度为；2. 运发动的质量为单位质量，即；3. 在时运发动到达最大冲力，且在跑步过程中冲力大小随着时间递减. 四、 符号表示 运发动奔跑时间 运发动到达最大速度的时间 运发动奔跑过程中的冲力 运发动奔跑过
7、程中的最大冲力 进展非线性拟合时得出的最大冲力估计值 运发动奔跑过程中的加速度 运发动奔跑过程中的跑步速度 运发动奔跑过程中能到达的最大速度 运发动奔跑过程中的跑步距离 运发动到达最大速度时的路程 运发动奔跑过程中受到的内外阻力 冲力限制系数 进展非线性拟合时得出的冲力限制系数估计值 运发动质量 奔跑过程中体内外阻力的比例系数的倒数 进展非线性拟合时得出的体内外阻力的比例系数的倒数估计值 运发动奔跑过程中速度关于时间的表达式 运发动奔跑过程中速度关于时间的表达式 运发动到达最大速度时时间关于参数的表达式五、 模型建立与求解在问题一中，可建立微分方程模型，通过对的满足的微分方程进展求解，同时利用
8、牛顿运动第二定理对建立的微分方程进展两次积分，即可得出短跑比赛时速度和距离的表达式；再通过MATLAB软件对问题二表格中数据进展非线性拟合，求出拟合曲线对应的极大值点，即为赛跑过程中速度到达最大值时对应的时间点；最后通过MATLAB对参数的实际值进展求解，得出的最终表达式不含参数，再利用MATLAB中plot函数即可得出示意图(见图二)；在问题二中，利用问题一中得出的的最终表达式，将表格中的时间的数据代入，即得到速度的理论值，再与实际值进展比较，总结成表格见表格二.5.1问题一模型建立与求解可将问题一分成三局部逐个求解：建立微分方程模型并求解得出速度和距离的表达式；通过MATLAB进展数据的非
9、线性拟合，得出到达最高速度的时间；求解出速度的最终表达式不含参数，并利用MATLAB画图函数得出函数的示意图.5.1.1 求短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式由条件可知对等式两边关于自变量积分，得为任意常数带入初值条件，解出任意常数，得根据牛顿运动第二定理，得将，带入，得对等式两边关于自变量积分，得为任意常数带入初值条件, 解出任意常数，得由于,对等式两边关于自变量积分，得(为任意常数)带入初值条件, 解出任意常数,得5.1.2 求解到达最高速度的时间根据问题二中的表格1如下s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306
10、.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22表格 1 *运发动在比赛过程中数据记录可利用MATLAB对数据及数据分别进展非线性拟合程序见附录1，拟合图像如图1，图2所示图 1 时间与速度的非线性拟合函数图图 2 时间与路程的非线性拟合函数图得出参数估计值再利用导数求出拟合函数的极大值点程序见附录2代入求得对应的得与表格1中数据比照发现误差很小，即拟合的准确度较高. 5.1.3作出v(t)的示意图由前面的讨论知速度关于时间的表达式路程关于时间的表达式并且运发动在奔跑过程中到达最大速度
11、时的值为对关于自变量求一阶导数，得由得出到达速度最大值点时时间的关系式将代入到表达式中，利用MATLAB的fsolve函数求解该三元方程组迭代初值即为，程序见附录3，得出参数的实际值易见参数的实际值与估计值误差很小，即计算较准确. 将参数的实际值代入到关系式中，得出最终速度关于时间的表达式再利用MATLAB的plot函数即可得出的示意图程序见附录4，如图3所示图 3 速度关于时间的函数图由图形可知道在赛程的进展一段时间后，运发动的速度能到达极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运发动的速度会越来越慢，因此该图形符合实际情况，同时通过比照发现得到的的准确图与拟合图相
12、似度很高，说明非线性拟合较为成功，计算较为准确. 5.2 问题二模型建立与求解由问题一的讨论过程知，最终速度关于时间的表达式为分别带入表格1中的数据，求出理论值程序见附录5，得到的比照结果如表格2t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)理论值05.289.4010.6711.2711.5311.6211.5911.5011.3611.20v(m/s)实际值05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22表格 2 速度v理论值与实际值的比较模型评价见论文第七局部.六
13、、 结果分析1.由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也是先增后减的，即在到达最大值后又有一个减少的阶段. 由图像可知，在赛程进展一段时间后速度逐渐减小，图像符合实际.2.按照本模型得出,计算得出的速度理论值与题中所给实际值吻合度较高，模型建立较符合实际情况.七、 模型评价模型优点：1. 模型简单易行，便于理解，与现实生活严密联系有坚实可靠的数学根底，具有很好的通用性和推广性；2. 模型参考了Keller的跑步模型建立了动态优化模型，并且对模型中涉及到的众多影响因素进展了量化分析，模型稳定性高适用性强；3. 利用MATLAB对问题二中数据进展了两次非线性拟合，并分别给出拟合的图像，增加了模型的
14、直观性和准确性，使模型更加符合实际情况；4. 在进展数据时使用了表格，使得结果更直观明了.模型缺点：1. 模型因简化计算而忽略了人体的质量，统一理解为单位质量，但是实际生活中由于运发动的质量不尽一样，故在求解模型时得到的结论也会有所差异；2. 模型在考虑内外阻力时假设阻力与速度成正比，但是实际生活中外阻力应与速度的平方成正比；3. 模型中假设运发动的冲力随着时间的增加而不断减小，只在时得到最大冲力，但是根据Keller模型理论，在进展短程赛跑过程中，运发动在开场的一段时间可以保持最大冲力.参考文献1 姜启源, 数学模型(第三版)M， 高等教育出版社， 2003.082 汪晓银. 数学软件与数学实验M, :科学出版社, 20083 动态优化模型，Keller跑步模型短跑模型，百度文库， wenku.baidu./linkurl=1wdM0Y1Oib_Red5u3w6CEr7AP3qny6ZD35N3Wcym_6kiIHYvvQFJDl*4LZ8L4zSILU6bF08oQqZg7u8LAd_f3u44jGASNJjGP2pW4c3w9qe附录1.1 fu
