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1、：误差传播与算法稳定性一：实验内容考虑一个简单由积分定义的序列：显然 I 0, n = 1,2,nn. 当 n=1 时J1 xnex-idx, n = 1,2,0=J1 xex-idx = 1/ e。而对于n 2时，利用分步积分 10I = J1 xnex-1dx = xnex-1n0易得：1 - J1 nxn-iex-1dx = 1 - nl , n = 2,3, 00n-1方面，我们有I = J1 xnex-ldx J1 xndx = 1/ (n +1)。00由以上递推关系，我们可以得到计算序列l 的两种方法。n(I) I = 1/ e , I = 1 1/ I ,n = 1,2,3,1n
2、n -11 - E(II) E = 0, E =n,n = N,N 1,N 2,3,2Nn -1n二：实验要求及实验结果（1） 分别用算法（I）、（II）计算，并且在计算机中分别采用5位、6位和7位有效数字, 请判断哪种算法能给出更精确的结果。实验过程：%设定有效数字位数%vpa 设定结果有效数字%循环计算i)编写MATLAB程序如下: a= input (请输入有效位数 a:); syms n InIn=vpa(exp(-1),a)for n=2:10;In=vpa(1-n*In),a)End运行文件，输入有效数字a分别为5位、6位和7位，得到运算结果如下表格所示:有效位数5位6位7位Il.
3、36788.367879.3678794.26424.264242.2642412I3.20728.207274.2072764I4.17088.170904170894414560.145480.1455280I12640.127120.1268320I7.11520110160.1121760I7840e-1.118720.1025920I9.29440-68480e-1.766720e-1Ilo-1.9440168480.2332800ii)编写MATLAB程序如下:function In=NO1Bb= input (请输入有效位数b:); syms n EnEn=vpa(0,b)for
4、 n=10:-1:2;En=vpa(1-En)/n),b)End运行文件，输入有效数字a分别为5位、6位和7位，得到运算结果如下表格所示:有效位数5位6位7位%0.0.0E10.10000.100000.1000000E9.10000.100000.1000000E8.11250.112500.1125000E?.12679.126786.1267857e6.14554.145536.1455357E5.17089.170893.1708929E4.20728.207277.2072768E3.26424.264241.2642411E2.36788.367880.3678794由以上两种算法
5、所得到的数据可知，对算法I = 1/ e，I = 1 -1/ I ,n = 1,2,3,.从I开 1nn-18始，结果变得无规律，各个有效位数计算结果都不一样，这是因为随着计算的n增大，误差 1 - E会越来越大。而对E = 0, E = n ,n = N, N -1,N - 2,3, 2，5位、6位和7位Nn -1n结果相近，随着有效数字位数的增加，结果越来越精确。（2）两种算法的优劣，与你第一感觉是否吻合。请从理论上证明你的实验得出的结果，解释实验得到的结果，算法（I）中的计算误差为e ,由I递推计算I的误差为e ； 11Nn算法（II）中的I计算误差为*，由I向前递推计算I （ n N
6、）的误差为E。NNNnn如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其它误差，试给出：与7的关系和8n 与 8N的关系。i) | e 丨二 11 I* | = | (1-nI ) -(1-nI* ) | = nle I = (n l)!l e |。1nnn-1n-1n-1因为|*N-11(*1詔8 N由此类推，对nN有：|*n上 N ( N- 1 ). (|N1 。) |3)算法（I）中的e1会很小，当n增大时，en的变化趋势如何？算法（H）中8 N通常相对较大，当n减小时，误差又是如何传播的？也就是说比较一下上述两个算法，当 n某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减还是扩张的。i) 算法(
7、I)中，丨 e I 二 11 1*1 = 1(1 nI ) (1 nI * ) I 二 nle I 二 二(n l)!l e I。nn nn1n1n11当e很小时，随着n的增大，e以阶乘为系数迅速增大。所以当某一步产生误差后，该误 1n差最后面的影响是扩张的。ii) 算法(II)中1 1 =1 1，虽然开始很大，但是随着n的增大，nN(N 一 1). (n +1) NN 以阶乘为除数迅速减小。所以当某一步产生误差后，该误差最后面的影响是衰减的。 n(4) 通过理论分析与计算实验，针对(I)和(II)的稳定性给出你的结论。i) 算法(I)中，I e I 二 11 I * I 二 I (1 nI ) (1 nI* ) I 二 nle I 二 二(n 1)!I e I。nn nn1n1n11当某一步产生误差后，该误差最后面的影响是扩张的，所以该算法是不稳定的。ii) 算法(I I)中I I =1I I，虽当某一步产生误差后，该误差最后面nN(N 1). (n +1) N的影响是衰减的，所以该算法是稳定的。
