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1、 第五节直线、平面垂直的判定及其性质全盘巩固1设l、m、n均为直线,其中m、n在平面内,则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选A当l时,lm且ln;但当lm,ln时,若m、n不是相交直线,则得不到l.即“l”是“lm且ln”的充分不必要条件2已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l,m的位置关系是()A平行 B异面C相交 D垂直解析:选A因为直线l垂直于直线AB和AC,所以l垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线,同理,直线m垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线,根据线面或线线垂直的性质定理得lm
2、.3已知P为ABC所在平面外的一点,则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是()APAPBPCBPABC,PBACC点P到ABC三边所在直线的距离相等D平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等解析:选B条件A为外心的充分必要条件,条件C、D为内心的充分必要条件4已知两条直线m、n,两个平面、,给出下列四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确命题的序号是()A BC D解析:选C正确;对于,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行,因此是错误的;对于,直线n也可能位于平面内,因此是错误的;对于,由m且
3、,得m,又mn,故n,因此是正确的5如图所示,四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析:选D在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,故CD平面ABD,则CDAB.又ADAB,ADCDD,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB平面ADC.又AB平面ABC,平面ADC平面ABC.6. 如图,正三角
4、形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MPMC,则点M的轨迹为()解析:选A取AD的中点E,连接PE,PC,CE.由PEAD知,PE平面ABCD,从而平面PEC平面ABCD,取PC、AB的中点F、G,连接DF、DG、FG,由PDDC知,DFPC,由DGEC知,DG平面PEC,又PC平面PEC,DGPC,又DFDGD,DF平面DFG,DG平面DFG,PC平面DFG,又点F是PC的中点,因此线段DG上的点满足MPMC.7设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,给出下列命题:若l,则l与相交;若m,n,lm,ln,则l;若lm,
5、mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.其中正确命题的序号为_解析:显然正确;对,只有当m,n相交时,才有l,故错误;对,由lm,mnln,由l,得n,故正确;对,由lm,ml,再由nln,故正确答案:8. 如图所示,矩形ABCD的边ABa,BC2,PA平面ABCD,PA2,现有数据:a;a1;a;a2;a4.当在BC边上存在点Q(Q不在端点B、C处),使PQQD时,a可以取_(填上一个你认为正确的数据序号即可)解析:当PQQD时,有QD平面PAQ,所以QDAQ.在矩形ABCD中,设BQx(0x2),则CQ2x.在RtABQ中,AQ2a2x2,在RtDCQ中,DQ2a2(2x)2.又由AQ2D
6、Q24,得2a22x24x0,则a2(x1)21(0x2),故a2(0,1,即a(0,1,故符合,不符合答案:(或)9. 如图PAO所在平面,AB是O的直径,C是O上一点,AEPC,AFPB,给出下列结论:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命题的序号是_解析:AE平面PAC,BCAC,BCPAAEBC,故正确;AEPC,AEBC,PB平面PBCAEPB,AFPB,EF平面AEFEFPB,故正确;若AFBCAF平面PBC,则AFAE与已知矛盾,故错误;由可知正确答案:10(20xx台州模拟)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABCD是直角梯形,E为BC的中点,BADA
7、DC90,AB3,CD1,PAAD2.(1)求证:DE平面PAC;(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值解:(1)证明:因为PA平面ABCD,DE平面ABCD,所以PADE,取AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以EFAB且EF2,在RtADC和RtDEF中,EFDADC90,DFDC1,EFAD2,所以EFDADC,FEDDAC,所以ACDE.因为PAACA,PA,AC平面PAC所以DE平面PAC.(2)由(1)知平面PDE平面PAC,设DEACG,连接PG,在RtPAG中,作AHPG,垂足为H,则AH平面PDE,所以APH是PA与平面PDE所成的角,由(1)知,在RtA
8、DG中,AD2,tanCAD,所以AGADcosCAD,因为PA平面ABCD,所以PG,sinAPHsinAPG,即PA与平面PDE所成角的正弦值为.11. (20xx江苏高考)如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明:(1)因为ASAB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SB
9、C,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFABA,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.12. 如图,在四棱锥SABCD中,平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点(1)求证:CD平面SAD;(2)求证:PQ平面SCD;(3)若SASD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN平面ABCD?并证明你的结论解:(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD.又平面SAD平面ABCD,且平面SAD平面ABCDAD,所以CD平
10、面SAD.(2)证明:取SC的中点R,连接QR,DR.由题意知,PDBC且PDBC.在SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,所以QRBC且QRBC.所以QRPD且QRPD,则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQDR.又PQ平面SCD,DR平面SCD,所以PQ平面SCD.(3)存在点N为SC的中点,使得平面DMN平面ABCD.连接PC、DM交于点O,连接PM、SP、NM、ND、NO,因为PDCM,且PDCM,所以四边形PMCD为平行四边形,所以POCO.又因为N为SC的中点,所NOSP.易知SPAD,因为平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,且SPAD,所以SP平面ABCD,所
11、以NO平面ABCD.又因为NO平面DMN,所以平面DMN平面ABCD.冲击名校如图在直棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABAC,AA13,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动(1)证明:ADC1E;(2)当异面直线AC与C1E 所成的角为60时,求三棱锥C1A1B1E的体积解:(1)证明:因为ABAC,D是BC的中点,所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1.又BCBB1B,BC,BB1平面BB1C1C,所以AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.(2)因为ACA1C1,所以A1C1
12、E是异面直线AC与C1E所成的角,由题设知A1C1E60.因为B1A1C1BAC90,所以A1C1A1B1,又AA1A1C1,A1B1AA1A1,A1B1,AA1平面A1ABB1,从而A1C1平面A1ABB1,又A1E平面A1ABB1,所以A1C1A1E.故C1E2,又B1C12,所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.高频滚动如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点(1)求证:AB1平面A1BD;(2)设点O为AB1上的动点,当OD平面ABC时,求的值解:(1)证明:取BC的中点为M,连接AM,B1M,在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面AB
13、C平面BCC1B1,ABC为正三角形,所以AMBC,又平面ABC平面BCC1B1BC,故AM平面BCC1B1,又BD平面BCC1B1,所以AMBD.又正方形BCC1B1中,tanBB1MtanCBD,所以BDB1M,又B1MAMM,B1M平面AB1M,AM平面AB1M,所以BD平面AB1M,又AB1平面AB1M,故AB1BD.在正方形BAA1B1中,AB1A1B,又A1BBDB,A1B,BD平面A1BD,所以AB1平面A1BD.(2)取AA1的中点为N,连接ND,OD,ON.因为N,D分别为AA1,CC1的中点,所以NDAC,又AC平面ABC,ND平面ABC,所以ND平面ABC,又OD平面ABC,NDODD,所以平面NOD平面ABC,又平面NOD平面BAA1B1ON,平面BAA1B1平面ABCAB,所以ONAB,注意到ABA1B1,所以ONA1B1,又N为AA1的中点,所以O为AB1的中点,即1.