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1、抽油杆柱振动模型的解析解对于抽油杆柱的纵向振动问题，一般可做如下两种假设模型：1）将抽油杆振动简化为一端受光杆的激振位移、一端带有集中质量的力学模型;2）将抽油杆的振动简化为一端受光杆的激振位移一端自由的力学模型。模型一：1基本假设:1）抽油杆振动简化为一端受光杆的激振位移，另一端带有集中质量的力学模型2）抽油机为常规型抽油机2波动方程的建立与求解波动方程：抽油杆的振动方程为:8 2u (x, t)8 2u (x, t)du (x, t)dt=a 2 - C 8t2r8x2式中：C为阻尼系数，l/S ； uG,t）为抽油杆上x截面在t时刻与悬点最低位置间的相对位移，m；a为声波在杆柱中的传播速
2、度，ar；Er为杆柱的弹性模量，du（L, t） m 8xE AM为由液柱载荷简化得到的集中质量。Pa； p 了为杆柱材料密度，kg/m3。边界条件为：u （0, t）=-中（t） = - S sin t即悬点位置的周期位移 28 2 u（L, t）g k求解结果：抽油杆某截面在时刻t时与悬点位置间的相对位移为:2Ba 2pa(SpT Sarsin nL + rBLcos nL rLp 2ap12)a2 pnrnrn式中：f=mS 2/2;B =mL2 一 E Au*G,t)= si-xarh =$p2 - C2抽油杆的运动是在驴头悬点位置处的位移激励下的强迫振动，在稳定运动条件下具 有周期性
3、，其周期为T = 60/七，,为冲次。其与抽油机的运动周期相同。由周期性边界条件，可得到u* (x, t + T ) = u* (x, t)，从而可得到，q = C2 = 0 o 抽油杆某截面在时刻t时与悬点位置间的相对位移可简化为：u*(x,t)= ! f)(p2 -2 C22int 一 Cp2 cost 1 sin LxI 2 -2 4(C力nn I ai T l nJ r由边界条件可得该简化模型下各阶固有频率的计算公式为：taL = 3EL o a a m 2 L则最终得到抽油杆任意截面与悬点最低位置间的相对位移为:u(x,t)=芝 J 0)(V C2 2 C2int 一Cp2 cost
4、 1 sin乙xi=1p 2- 2 4(C 力 nn I anJrS -sin t2mS 2/2msin t +g mL 2 - E AEArrrr抽油杆自由振动时，阻尼系数C=0，则得到单级杆柱自由振动时，抽油杆任意截面与悬点最低位置间的相对位移为:i=1/ f 2(0卞in tp2 -2/npsin n x + xarmS2/2. msin t + g mL 2 - E AE Asin t抽油杆中任意截面中的载荷Q(x, t)为:Q(x, t)= E A du(X,) + A p g (L - x) - A p gL r r dxr rr f=E A 芝 乙-ff)fv L2 2 一 C2
5、)Sint 一Cp2 cos11 cos乙 xr r I a p2 24fC力nn I an=1r nrmsin t +gm典-E AE Ai+ A P g (L - x)- A p gLr rr f式中：Ar为抽油杆柱的横截面积；Ap为抽油泵柱塞截面积；p r为抽油杆材料密度;P f为井液密度，I为系数，上冲程i=1,下冲程i=0。3柱塞超冲程分析将柱塞的超冲程分为绝对超冲程和相对超冲程两个概念。绝对超冲程：即泵柱塞实际有效冲程大于光杆冲程的部分相对超冲程：即泵柱塞实际有效冲程大于泵柱塞的理论有效冲程的部分。所谓泵的 理论有效冲程等于光杆冲程减去由液柱载荷引起的抽油杆柱和油管柱的静变形之和。
6、抽油泵柱塞于悬点最低位置间的相对位移为：f 20，2 - 2 i=1 J nmS 2 /2. msin t +g mL 2 E AE AS-sin t。2泵柱塞得实际有效冲程为:S = U(L,t) u(L,t) .L 8 ；泵柱塞得绝对超冲程为：S = S - S = U(L, t) - u(L, t) -8 S泵柱塞得绝对超冲程为：S = S - (S-8 ) = U(L,t) -u(L,t) - S式中：8为上下冲程液柱载荷引起的抽油杆和油管静变形之和。模型二:1基本假设:3)抽油杆振动简化为一端受光杆的激振位移，另一端自由的力学模型4)抽油机为常规型抽油机2波动方程的建立与求解波动方程
7、：抽油杆的振动方程为:d2u (x, t)d2u (x, t)八 du (x, t)=a 2 一 Cdt 2rdx 2dt式中：C为阻尼系数，l/S ； u(x,t)为抽油杆上x截面在t时刻与悬点最低位置间的相对位移，m； a为声波在杆柱中的传播速度，m/s，a；E为杆柱的弹性模量，Pa； p r为杆柱材料密度，kg /m3。边界条件为：Su (0, t)=-中(t) = - - sin l t即悬点位置的周期位移约束。2du(L, t)八=0dx求解结果：抽油杆某截面在时刻t时与悬点位置间的相对位移为:u G,旗习i=1以rVr LC2 一 p2 +2 )sin t + Cp2 cos t|
8、* +Enn l sin Lx5 . h 八 h 、I a+ e -Ct 2(C sin-nt + C cos-t)I r式中：h = v4p2 -C2 nn抽油杆某截面在时刻t时与悬点最低位置间的相对位移为:a，VrLC 2 一 p 2 +L 2 Min Lt + Cp 2 cos Lt JI2 -L24(CL力nn II _ p S 一n sin f x 一 sin Lth hI a 2+ e -Ct 2(C sin ft + C cos ft)I r2 1222Iu (x, t )=YpnL Li=1抽油杆的运动是在驴头悬点位置处的位移激励下的强迫振动，在稳定运动条件下具 有周期性，其周
9、期为T= 60/nr,七为冲次。其与抽油机的运动周期相同。由周期性边界条件，可得到u(x, t + T ) = u(x, t)，从而可得到，C = C = 0 o贝很终得到抽油杆任意截面与悬点最低位置间的相对位移为:u(x, t)-工！ 1 /JLC2 一 p2 +2 int + Cp2 cost sin Pnx - sin tI p L，2 2 4(C 力nn I a 2i=1n n由边界条件可得该简化模型下各阶固有频率的计算公式为：(2n 一1)兀 a p = r on2 L抽油杆自由振动时，阻尼系数C=0，则得到单级杆柱自由振动时，抽油杆任意截面(,)寸ux,tJ =乙 sin Lx-
10、sinta 2r1 a薛2 sin罕p L 晶 2 一 p Mnn抽油杆中任意截面中的载荷Q(x, t)为:Q(x, t )= E A du (x, t) + A p g (L - x) - A p gL + Qi r r 办 r rr f r=EA U 1 (YLC 2 p 2 + 2 Zin t + Cp 2 cos t J cosxr r IL p2 -l2 4(Cl力nn I an=1nr+ A p g (L 一 x) 一 A p gL + A p g (L 一 h)ir rr fp f式中：Ar为抽油杆柱的横截面积；Ap为抽油泵柱塞截面积；p为抽油杆材料密度;P f为井液密度，i为系
11、数，上冲程i=1，下冲程i=0； h为抽油泵的沉没度，m。3柱塞超冲程分析将柱塞的超冲程分为绝对超冲程和相对超冲程两个概念。绝对超冲程：即泵柱塞实际有效冲程大于光杆冲程的部分相对超冲程：即泵柱塞实际有效冲程大于泵柱塞的理论有效冲程的部分。所谓泵的 理论有效冲程等于光杆冲程减去由液柱载荷引起的抽油杆柱和油管柱的静变形之和。抽油泵柱塞于悬点最低位置间的相对位移为:pS sin n L - sin Lt a2ru (x, t )=1 (aV、LC 2 一 p 2 +l 2 in Lt + Cp 2 cos Lt 1 siI p L 2L 2+(Cl 力nni T I n nJ泵柱塞得实际有效冲程为：
12、S =一 u(L展)8 ；pmaxm i n泵柱塞得绝对超冲程为：S = S S = L(Z/) (/) 一8 Soa pmaxmin泵柱塞得绝对超冲程为：S = S (5 5 ) =u(L/) Sor pmaxmin式中：5为上下冲程液柱载荷引起的抽油杆和油管静变形之和。3多级混合管柱的分析处理设多级混合杆柱由不同材料的抽油杆组成，级数为3,各级杆的参数分别为：面积A、弹性模量E、密度p、声波传播速度a、单位长度杆柱重力W、各级杆长 iriririi度占总长度的比例匕，分析其力学特性可得该杆柱的各阶固有频率P。单级杆柱的超冲程只与杆柱的各阶固有频率、声波在杆柱中的传播速度、阻尼系数、 抽油机
13、冲次即光杆运动规律等因素有关系；单级杆柱的光杆载荷处于上述因素有关系 外，还与杆柱的弹性模量、杆柱的横截面积、杆柱材料密度、井液密度及抽油泵的泵径 等因素有关。对于多级杆柱，可以将其等效为单级杆柱，该等效单级杆柱的各阶固有频 率与多级杆柱相同，等效单级杆柱的变形量也与多级杆柱的变形量相同。除声波在杆柱 的传播速度不同外，其余因素的计算与单级杆柱相同。声波在杆柱中的平均传播速度为：a = 1工丘r。、 a / i=1 ri /等效单级杆柱的平均截面积和弹性模量计算公式为：A - Af ；A =修（A f -fJ：1。ri iI ri i E Ai=1 i=1i=1 ri ri 此处需要强调的是，等效单级杆柱的有关属性与单级杆柱是不完全相同的，各阶固 有频率应与原多级杆柱的各阶固有频率相同，与基本固有频率间不时整数倍关系；声波 的平均传播速度与平均弹性模
