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1、学习必备欢迎下载高考数学必胜秘诀在哪？方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、五、平面向量1、向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向 线段来表示，注意B (4,2),(2)3) 益；|AB|(4)(5)则把向量 零向量: 单位向量不能说向量就是有向线段 ，为什么？(向量可以平移)。如已知A( 1,2),AB按向量a =( - 1,3)平移后得到的向量是 (答：(3,0 )长度为0的向量叫零向量，记作： 0 ,注意零向量的方向是任意的；:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量
2、有传递性；(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，记作：a / b ,规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线 向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包 含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0);三点A B、C共线 AB AC共线；_(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。则a=b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相等向量平行向量如下列命题：(1 )若相同，终点相同。(3)若ab形，贝U AB = DC。(5)若 a =b, b =
3、 c，贝U a =C。(6)若 a/b,b/c，贝U a/c。其中正确 的是 (答：(4) (5)2、向量的表示方法：(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等;(3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系， 以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i ,=DC，则ABC%是平行四边形。(4)若A卄ABCD是平行四边j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a二xi yj二x,y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量 的终点坐标相同。
4、3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平耳面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1、2，使a=、2 e2。如(1)若a =(1,1),b =1 寸 3、(答：- a-一b ) ； (2)下列向量组中，能作为平面内所有2 2“44向量基底的是A. =(0,0),=(1,-2) B. $ =1,2),=(5,7) C. 0 =(3,5), e2 =(6,10) 13TD. e, =(2,3)6=(?,才(答：B )； (3)已知 AD,BE 分别是 MBC 的边 BC, AC 上的中线，且AD =a, BE =b ,则BC可用向量a,b表示为2=4円(答：丁+
5、b)；(4)已知 MBC学习必备欢迎下载3中，点D在BC边上，且CD 2 DB , C r AB s AC，则r s的值是（答: 0）4、实数与向量的积规定如下:1a的方向与a的方向相反，当5、平面向量的数量积(1)两个向量的夹角实数与向量a的积是一个向量，记作 a， ,2当 0时，a的方向与a的方向相同，-呻 T 、一. 1= 0 时，和 a = 0 ,注意：乂 a 丰 0。它的长度和万向f - 0 时， a:对于非零向量toaLr a-rb一一tob0 v v 0，且a、b不同向，a b 0是v为锐角的必要非充分条件；当v为钝角时，a * b v 0,且a、b不反向，a b 0是r为钝角的
6、必 要非充分条件；非零向量a , b夹角v的计算公式：cost二: |a 1 a |b|。如（1）已TT Tb =(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是1 T知 a = （ ,2 ）,4,或 0且 - - ） ； （ 2）已知 O F Q的面积为S ,且OF，FQ =1 ,若33（答:学习必备欢迎下载1 3.一S =-，则OF , FQ夹角日的取值范围是 _2 2a =(cosx,sinx),b 二(cosy ,siny )与 b之间有关系式(答：g；( 3)已知-rtAC =；,那么；_b = AB AC =CA,:设 AB 二 a,录：此处减向量与被减向量的起点相同。I 十
7、女口( 1)AD_DC=:(AB_CD)_(ac_bd)=T 彳T 斗T 单AB = a, BC = b, AC = c ,(答：120：)；,丿1)上=(x2,y2)，则： 向量的加减法运算：_b = (% _x2, % - y2)。如(1)已知点A(2,3), B(5,4),C(7,10)，若AP=AB+扎AC(人ER)，则当h =时，点P在第一、三象限的角平分线“1-宀1兀兀上(答：)；(2)已知 A(2,3), B(1,4),且一AB=(si n x,cos y), x,y 气一-)，则 x+y = 2 2 2 2“兀亠 兀TTT(答：一或一)；(3)已知作用在点A(1,1)的三个力戸
8、=(3,4), F2 =(2,-5), F3 =(3,1),6 J则合力F = F1 F2 F3的终点坐标是 (答：(9,1) 实数与向量的积：a =xy二x.(, y( o 若 尺知力)，B(X2,y2)，则AB二x? -为皿- ,即一个向量的坐标等于表示这1彳如设 A(2,3), B(-1,5)，且 AC AB ,3个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。T TAD =3AB，贝U C、D的坐标分别是=J3 a kb，其中 k：0,用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角v的大小(答：彳 扌 2a b ?(k . 0)；最小值为 丄，二-60 )4k26、向量的运算：(1)
9、 几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法贝则”只适用于不共线斗的向量,如此之外，向量加法还可利用三彗法则”：设AB二a, BC二b，那么向量AC 叫做a与b的和，即： b二AB BC二AC ； 向量的减法：用“三角形法则”由减向量的终点指向被减向量的终点。化简： AB+bc+CD=: A(答：AD ；CB ；0 ) ； (2)若正方形ABCD的边长为1,44l则|a+b+c| =_ (答：2J2 ) ； ( 3)若O是L ABC所在平面内一点，且满足(答：直角三角形)；(4)若D为OB -OC = OB OC -2oA ,贝山ABC的形状为迅BC的边BC的中点，AB
10、C所在平面内有一点 P，满足PA BP CP =0，设| AP |=九，则人的值为(答：2)； (5)若点O是 ABC的外心，且OA+OB+CO =0 , |PD|则 ABC的内角C为_(2) 坐标运算：设a =(治林11(答:(1,-),(-7,9);11 !平面向量数量积：a *b =灭必2 * y1 y2。如已知向量a =( si nx, cosx) , b =( sinx,1 -3.sinx) , c =(- 1, 0)。(1)若 x ，求向量 a、c 的夹角；(2)若 x 一，函384数f (x) a b的最大值为1，求，的值(答：(1)150;(2) 1或2-1 )；斗 ro才彳2
11、 才 o oTH向量的模：|a|x2 y , a |a|2=x2 y。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b| = (答:屈)；两点间的距离：若A x1,y1 ,B x2y 2 ，则| AB |f ；：凶-治y? - % ?。如如图，在平面斜坐标系 xOy中，.xOy二60，平面上任一点 P关于 斜坐标系的斜坐标是这样定义的： 若OP = X + ye2 ,其中e1,e2分 别为与x轴、y轴同方向的单位向量，贝U P点斜坐标为(x, y)。 (1) 若点P的斜坐标为(2, - 2),求P到O的距离丨PO |; (2)求以 O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。(答：(1) 2；2 2(2) x + y +xy -1 =0 )；7、向量的运算律：(1 )交换律：a b = b a , V?.La = J a ,结合律：a b c = a b 亠c, a -b -c = a -：i.b c , =-a *b = - a *b = a * - b ；(3)分配律:/.亠 Ja = a ：二a, a b =
