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1、数学建模组员：指导老师：2方型烤箱上平底锅最优设计摘 要 众所周知在烹饪时矩形锅的热集中在四角导致食物被烤焦；而在圆锅热烘烤是，热量均匀分布在整个外边缘从而使食物不会被烤焦。由于缺乏烤箱空间利用效率，圆锅并不是最好的选择。我们的任务是解决食物加热不均匀和容易边缘烤焦这一难题，提出了一种用于烘烤盘的优化设计。我们要做的是得到平底锅的热量分布与固定面积的烤箱中所能放的平底锅的最大数量和平底锅的形状之间的关系，本文将通过建立相关模型，运用Matlab软件进行求解。问题一，为了说明在一个特定烤盘的热分布情况，根据热传导规律对一个三维对象的推导我们首先构造了在不同形状下的平底锅热分布模型，如方形、正六边
2、形、圆形等。其次，引入有限元法求解该二维传递模型的稳态解。并利用Matlab提供的PDEtool工具得到二维热传递模型的数值解。最后得到不同多边形烤盘温度方差表，通过表格我们得到了可用边缘热分布的标准差来衡量烤盘热分布的均价程度。问题二，我们分为三种情况讨论:p=1,p=0,0p1,我们着重研究0p1时的最优解，在这里我们运用遗传算法对正多边形进行排布，然后分别计算出时，在p=0.25,p=0.5,p=0.75,p=0.9时正四边形，正六边形，正八边形，圆对应的目标函数值。并依照数据画出单一变量对应的直方图或折线图，最后得到相应的变化趋势，即动态最优解。问题三，以美食杂志社的身份写一页最符合前
3、两题要求的平底锅的宣传广告。通过描写平底锅的用途和圆角矩形型的平底锅的材料以及外形，用简洁明了的语言写出平底锅在加热和空间利用率方面比其他平底锅的优势。关键词： 热分布； 二维热传递； 遗传算法； 最优解 一.问题重述随着人民生活的日益富裕，大家对食物的追求也越来越多样。各种烤出来的美食，比如烤煎饼，在一个方形的大烤箱上，可以放上多个平底锅。从我们的生活常识中可知，如果平底锅是方形的，那在烤饼时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。但是，现行使用的大部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤
4、箱内烤东西的话空间利用率会很低。在深入考虑这些问题之前我们先做必要的约定：1. 烤箱是一个宽长之比值为的方形烤箱；2. 每个平底锅的面积都相同，记为，也就是不管你选择什么形状的平底锅，其面积都不能变；3. 左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀。 在此基础上，我们将通过建立模型来求解以下问题：问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：条件1. 能在烤箱上放最多的平底锅；条件2. 使热量分布的均匀程度最大化；条件3. 最好地结合条件1和条件2，假设
5、两条件分别占权重记为 和，请分析最优选择结果是如何随烤炉的宽长比及权重的变化而变化的。问题三：以你的研究结果，以美食杂志社身份向广大民众宣传的角度，写1页的宣传广告。需要突出你的设计和结果。二.问题分析2.1问题一的分析本题研究的是不同形状的平底锅在加热食物时的热量分布，要建立一个模型来反映平底锅的热量分布情况，首先我们要了解平底锅受热时与烤箱和外界空气之间的热传递方式。在大部分温度可控的烤箱中，由于箱内气体温度可保持恒定，导致食物边缘烤焦的不均匀热源主要来自金属烤盘。故本模型应着重分析烤盘的热传递过程。接着我们可以通过热传导方程构造二维热传递模型来进一步分析平底锅在不同外形下的热量分布。通过
6、有限元分析法及Matlab软件来求得该模型稳态解及数值解。2.2问题二的分析本题想要选择一种平底锅的形状，使其既能满足条件1所要求的在烤箱中尽可能的利用空间，也能满足条件2提出的热量分布均匀程度高，面对这样的情况我们需要对此问题进行最优化处理。而对于此题的最优化问题，我们可以运用遗传算法进行排样优化，寻找最优排样图。条件3要求的对于条件1与2的权重问题，我们可以先建立一个关于此问题的目标函数，在求得目标函数值最小时的同时确定我们所需要的平底锅形状。2.3问题三的分析此题要求以美食杂志社身份攥写一篇一页的宣传广告，则我们在具体对平底锅进行描写时就不能像往常写作一样用字过于生硬。在写此篇文章时，我
7、们要以宣传通过外形设计的平底锅的优点为主，尽量要用轻松诙谐的语调让人看到此篇文章便能抓住我们设计的平底锅的与众不同。三.基本假设1.假设烤箱的温度达到一定值时不再发生变化且导热性能良好。2.假设平底锅材质均匀且导热性能良好，厚度适中。3.假设外界环境的变化不会对结果有太大的影响。4.烤盘温度逐步增加到保持恒定的过程不是我们主要关注的问题之一，我们的模型只考虑烘烤温度达到并保持在一个稳定的水平。5. 锅的材料是均匀和出现物理学各向同性。四.定义与符号说明符号说明导热系数平底锅材质密度比热容热对流系数导热体温度外界温度平底锅各面法向热流密度面积时间内热源平面单位法向量p权重烤箱长宽比零件编码DF脏
8、区标志t计数器N零件个数、平底锅数量面积剩余率边缘温度标准差温度差异程度f目标函数值s平底锅面积五.模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1问题一模型建立依据从我们的生活常识中可知，如果平底锅是方形的，那烤食物时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。根据上述现象，不同形状的平底锅的热量分布是不完全相同的。平底锅的热量主要由烤箱提供，此题提供的烤箱是单层的，所以外界的温度对于平底锅的热量分布的影响不容忽视。根据热力学的基本理论可知，热传递的方式有热传导，热对流和热辐射。考虑本
9、题的具体情况，此时的平底锅与烤箱之间的热传导方式为热传导和热对流。具体考虑平底锅接受的热量传导方向时，依据烤箱为单层，此时平底锅的受热面可以近似看成锅的底面。此时的平底锅热流示意图如图1所示。图1 平底锅热流示意图平底锅是由导热性良好的铁制成，且锅厚为2mm，则在烤箱中的平底锅各个面接受的热流密度相同。但实际上平底锅的不同部分的热量不一致的，这主要是由平底锅与空气之间的热对流以及平底锅金属材料之间的热传导造成的。已知热传导方程为. 这方程中各个量表示为：表示平底锅的密度；表示平底锅的比热容；表示平底锅的温度；表示平底锅的热传导系数；表示平底锅的内热源；. 对于平底锅，我们可以把它看成单层平壁的
10、稳定热传导，且假设其材质均匀，导热系数视为常量(或取平均温度下的导热系数)，根据图1假设在平底锅底部的温度只沿着壁厚度方向变化，是一维热传导，等温面为垂直于轴的平行面。在这些条件的基础上，我们可得导热量为，其中；为导热面积，即垂直于热流方向的表面积；为平底锅的厚度。由此可得平底锅单位时间和面积下的传导热量为,既。 为了求解出不同形状的平底锅的热量分布情况，我们将建立模型来反映平底锅在受热稳定时这一情况。在此种情况下，可知此时的平底锅的热量变化率为。此时传热方程为，也可表示为。依据现实情况，在烘烤食物时处于平底锅边缘的食物容易烤焦，这很好的说明了平底锅的边缘温度要比内部温度高。而引起这一现象的原
11、因主要是平底锅在烤箱上加温时，不仅锅的底部会受热而且锅的侧面也同样具有温度。在这种情形中，锅的侧面也会向锅的底部边沿传导热量。而具体在烧烤时，食物的热量主要从平底锅底部获得，所以对于平底锅热量的分布可以近似简化为其底部热量的分布情况。已知偏微分方程问题如果不是定义在全空间的话必然在一个区域上，而区域可以有各种形状此种边界条件称之为第二类边界条件。对于此题的偏微分方程想要研究其边界热量情况，我们可以采用第二类边界条件来进行。单位时间内通过单位面积的热流量定义为热流密度，记为 。通过第二类边界条件可知，此时平底锅底部边沿的热流密度为。5.1.2问题一模型具体建立过程 经过上述分析过程，我们可以把原
12、先平底锅的热量关于时间和三维立体空间的关系简化成热量关于时间和二维空间的关系模型。 基于事实依据与相关知识可得，不同形状的平底锅的热量分布情况的模型可表示为：。而平底锅各参数与边界条件如下表，以此为标准状态。表 1 标准状态下各物理量参数值物理量参数值330/K在模型求解的过程中，在保持看盘面积不变的情况下，我们将多边形的边数n从4逐一增加，利用Matlab编程绘出各个多边形的，并求得各多边形的顶点坐标，然后在PDEtool工具中绘出多边形。为了解决偏微分方程，我们需要获得边界条件。每个形状的具有它自己的边界条件，我们可以得到了各种不同的解决方案。这个解决方案，我们不需要得到解析解，与精确解，
13、而我们只是想找出相对每个形状的热分布。因此，我们可以利用Matlab的PDEtool工具来通过与初始值的一些参数设置得到数值解，并显示每一种形状的温度分布，由上述已知数据可以利用PDE画出各种形状的平底锅热分布图，如下图所示。（1）方形PDE求解 图2 方形平底锅热分布三维示意图 图3 方形平底锅热分布三维投影图 图4 方形平底锅边缘温度曲线图由图3，4可知，从中心到边缘观察，色彩变得越来越鲜艳，在四角显着深红的颜色，那么温度也是如此的显示，也即由中心到边缘逐渐上升。这样的结果是准确阐述了在问题重述中所说的现象一致，即四边形的棱边和顶角的温度相同，但四个顶角附近高温区域更大，所以在烤箱内烘焙蛋
14、糕时，四角最容易烤焦，而这个图的中心处温度较低。因为该平底锅区域的热量来自五个方向，而从底部的热量均匀的平面的每一个网格，而其他四个方向不同，因而造成热量被集中在四个角落。 （2）六边形PDE求解 图5 六边形平底锅热分布三维示意图 图6 六边形平底锅热分布二维投影图从图5，6可知，该形状的热分布也类似于方形的热分布，即温度也是由中心到边缘逐渐上升（3）八边形PDE求解 图7 八边形平底锅热分布三维示意图 图8 八边形平底锅热分布二维投影图（4）圆形形PDE求解 图9 圆形平底锅热分布三维示意图 图10 圆形平底锅热分布二维投影图从圆形的热分布图中可以看出，圆形的边缘温度分布比较均匀。在保持面
15、积不变的情况下，我们依次做了从正四边形到正十二边形及圆的热分布图，然后得到边缘温度曲线的变化规律，如图11所示。图11 不同形状烤盘的边缘温度曲线图并计算了不同多边形烤盘的温度方差表，如下表2所示。表2 不同多边形烤盘温度方差表正多边形边数（m）整体温度方差（）边缘温度方差（）边缘温度标准差（）标幺值44.73812.29131.5137153.18230.69530.83420.551063.05340.34160.58450.386172.73420.17160.41420.273682.61590.09610.31000.204892.55830.07430.27260.1801102.50890.05350.23130.152812
