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1、【不定积分的第一类换元法】已知f(u)duF(u)C求g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)【凑微分】f(u)duF(u)【做变换，令u(x),再积分】F(x)C【变量还原，u(x)】【求不定积分g(x)dx的第一换元法的具体步骤如下:(1)变换被积函数的积分形式:g(x)dxf(x)(x)dx(3)(4)(5)凑微分：g(x)dxf(作变量代换u(x)得:(x)(x)dxf(x)d(x)g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)du利用基本积分公式f(u)duF(u)C求出原函数:g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d将u(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量g(x)
2、dxf(x)(x)dxf(x)d【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量u【第一换元法例题】1、(5x7)9dx(5x7)9dx(5x1,、9一11(5x7)9d(5x7)(5x5510【注】(5x7)5,d(5x7)5dx,2、Inxdxx1lnxdxlnxdlnxlnxdlnxx12(lnx)2(x)f(u)duF(u)Cx得:(x)f(u)du(x),省略(3)(4)917)95d(5x7)7)10C(5x50,1一dxd(5x5F(u)CF(x)C步骤，这与复合函数的求导法则类似。191(5x7)9d(5x7)57)10C7)1【汪】(lnx)一xd(lnx)八12八C(lnx)2C
3、211dx,dxd(lnx)xx3(1)tanxdxsinx,dxcosxsinxdxdcosxdcosxcosxcosxcosxcosxIn|cosx|Cln|cosx|C【注】(cosx)sinx,d(cosx)sinxdx,sinxdxd(cosx)3 (2)cot xdxcosx .dx sin xcosxdx d sin xsin xsin xd sin xsin xIn |sin x | C In |sin x | C【注】(sinx)cosx,d(sinx)cosxdx,cosxdxd(sinx)4(1)，dxaxd(aax，dxaxx)In|a【注】(ax)1,d(ax)4(2
4、)，dxxa1-d(xa【注】(xa)1,(3)1-2dxxad(ax)x|In|ax|Cdx,dxd(ax)，dxxaa)In|xd(xa)122dxxaa|Cdx,12ad(xa)In|xa|Cdxd(xa)dx12a1dxa1dxxaln 2aIn | x a |11,In|x2a5(1)secxdxsecx(secxtanx)dxsecxtanxd(tanxsecx)d(tanxsecx)secxtanxsecxtanx5(2)secxdx1,cosx,dx2dxcosxcosxdsinx11121sinx2sinx1sinx12.一secxsecxtanxdxsecxtanxln|s
5、ecxcosxdxtanx|Cdsinx2cosxdsinx111n22sinxsinx1C11n21sinxCsinx11sinx2,ccscx(cscxcotx)cscxcscxcotx6(1)cscxdxdxdxcscxcotxcscxcotxd(cotxcscx)d(cscxcotx),一-ln|cscxcotx|Ccscxcotxcscxcotx2/、cscx(cscxcotx)cscxcscxcotxcscx cot xcscx cotx6(2)cscxdx-dxdx(1)(2)(1)(2)(1)(2)10(1)10(2)11(1)11(2)d(cotxcscx)d(cscxcot
6、x)cscxcotxcscxcotxln|cscxcotx|1dxarcsinxC=dx2xdxC2xdxxdx2xarctanx.3sindxx5xcosxdx.xarcsin一Cadx2x.2sin5xcosxdxsinxdx-arctan-C,(a0)25(1cosx)cos35sinxcosxdx322sinx(1sinx)dxxlnxdxxln2x.2sin5xcosdcosx75xdcosx(cosxcosx)dcosx8cosx86cos6_3sindsinlnxx1ln434xcosxcosxdxsinxcosdsinxdx/35(sinx2sinx1.dlnxlnx1.1ln
7、IndInx.7、sinx)dsinx4sinx46sinx3dInx1ln2InInxdInxClnx2xdxx42x222xdxx42x22dx22x22d(x2(x21),2,、2arctan(x1)xdxc2x2x52xdx2x25dx2x42x25d(x21)4(x21)221d(x21)8x2121x1x21d-12x2121-11arctan(x-413、14、15、16、17、18、19、20、sin.x1,dxsin、xdx、.xx2sinxdx2cosxC2x.edxsin(2x(2xsin、xdx2sin.xdx2x2cosxCe2xd2x2xcosxdx100.5)dx
8、5)100d(2x.3sin(2x5)e2xd2x2e2xCxcosxdx1005)dx101(2x-22xsinxdxsinxxdxlnx,dxx1lnx、1lnxdlnx.3.3.sinxdsinxsinxdsinx(2x5)1005)101Clnx,1lnx1.一sin2-dxxlnx,1lnx1d(2x5)2202(2x(2x5)101Csinx2dInxdx21cosx2(1lnx)1Inx1dlnx、1lnx,1Inxd(1Inx)1d(1lnx)1lnx3(13lnx)2arctanxtxdx.1x2_1_21x2sinx,dx.cos3x12(1lnx)2Carctanxed(
9、12dxxarctanxedarctanxarctanxe1x2xdx12.1dx2_1_2.1x2x2)cos3xsinxdx-1-dcosxcos3x5)100d(2xdIndarctanxarctanxed(1x2)5)32cos2xdcosx12cos2x21、xMdxexdxedexeexd(2ex)ln(222、2lnx,dxxlnx1dxx2lnxdInx2lnxdInxI3lnx_C323、dx12xxdx2(1x)2d(12(1x)x)2d(1x)(2)2(1x)2arcsin11C224、dxx2x2(xdx2225、d（x；）12-7x2(x2)(2)2arctand(x
10、2)112(x2)1x-2c二C2计算sinxcosx2cosxb2【分析】因为:22(asinx22bcosx)2c-a2sin所以:d(a2sin2x22、cosx)2(a2sinxcosxdx12(a2sinxcosx2.2.22asinxbcosxdxd(x2)1272(x2)2(2)2arctan2x=1C12xcosxb2cosx(sinx),2、b)sinxcosxdx,2.2,2d(asinxbcosb)sinxcosxdx_22asinx22bcosxx)2(a2.2.b)sinxcosxd(a2sin2xb2coyx)2.2,222asinxbcosxd(a2sin2xb2cos2x)b22a2sin2xb2cos2x2.2.22八asinxbcosxC【不定积分的第二类换元法】【做变换，令x (t),再求微分】已知fdtF(t)C求g(x)dxg(t)d(t)g(t)(t)dtf(t)dtF(t)C【求积分】_1_F(x)C一、一一1_【变量还原，t(x)】【第二换元法例题】1、变量还原sintdt2sint2tdt2sintdt2costCtx2cosxC2 (1)t12 dt 2
