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1、应用概率统计综合作业三一、填空題(每小题2分，共20分)1. 在天平上重复称量一重为的物品，测量结果为X|, X2,，X*各次结果相互独立且服从正态分布N(a,0.22),各次称量结果的算术平均值记为乂”，为使 刊疋-6/|0.95 ,则的值最小应取自然数 16.2. 设X2,，X “是来自正态总体N (/,42)的容量为10的简单随机样本，S?为样 本方差，已知P(s2d) = 0.1,则a= 13. 设随机变量F服从自由度为的7分布，则随机变IK2服从自由度为(l,n)的_F分布.4设总体X服从正态分布N(122),抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为S2 =5.57,则样本均值戸
2、小于12. 5的概率为 4/25.5.从正态分布N(“,b?)中随机抽取容量为16的随机样本，且“b未知，则概率2.041 = I6设总体X的密度函数为/(x, a)= SHrOvx其中d-1, X X-，0,其他，小亍加叼X“是取自总体X的随机样本，则参数a的极大似然估计值为 .7.设总体X服从正态分布N(“ a-2),其中未知而已知，为使总体均值“的置信度为1 a的置信区间的长度等于厶，则需抽取的样本容量最少为u=(x-uO) Xsqrt(n)/o8 设某种零件的直径(mm)服从正态分布7V(/z, b)，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为X= 12.075，样本方差S2 =
3、0.00244,则均值的置信度为0. 95的 置信区间为 _： (1025. 75-21.315, 1025. 75+2L 315) = (1004.435, 1017. 065).9. 在假设检验中，若未知，原假设H()： =备择假设H门/ /A)时，检验的拒叱渝-1）绝域为 q10. 一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百2525元）的彩响，随机抽访了 25名员工，并由记录结果得：x,=100, 乙=2000,2525X；=510 , 弋=9650,则Y对X的线性回归方程为J = n.47+2.62x.(-1/-1二. 选择题（每小题2分，共20分）
4、1设X|, X2.，X 是来自正态总体XN（0,b2）的一个简单随机样本，戸为其样工(X厂乂尸本均值，令r =；,则丫(d )b2(A) Z2(h-1)(B) z2(n)(C) N(“,b)(D) N(“,=)n2. 设X?,，X”是来自正态总体XN(“。2)的简单随机样本，乂为样本均值，记()1 fl_1 W_S：=(X,X)2, 5;=-(X,.-X)2,1if=E(-A)2 S：=(x厂“)2,则服从自由度为”一1的/分布的随机变量是(B )(A) T=(B) T= XJL_ (C)卩=兰二纟(D) T =兰羊S / Jn - *S2 / Jn - S3 / JhS4 / Ih3. 设X
5、- X3 , Xq是来自正态总体X N(,22)的简单随机样本，若令Y2 =a(X -2X2)2 +(3Xj -4X4)2,则当尸服从才分布时，必有(D )(A) 6/ = ； h = !(B) a = ! ； b =91441449(C) a = ； b = (D) a = ； b = 100 20 20 1004设简单随机样本X2,，X”来自于正态总体X Ng、则样本的二阶原点矩生的数学期望为(D(A)扣(D) 2cr25 设随机变量X服从自由度为5, “)的F分布，已知Q满足条件P(Xa) = 005,则P(X丄)的值为(C )a(A) 0. 025(B) 0. 05(C) 0. 95(
6、D) 0.9756 设总体X服从正态分布N(“ er2),X2,，X”是从X中抽取的简单随机样本，其中，未知，则“的100(1-a)%的置信区间(A )_ s ss s(A) ( X za7= X+ za 7=)(B) (X ta (?7 1) X+ ta (n 1) t=)Thi77Qn7J厶 C 0*S S()(X Zq -= X + Z& r= ) (D ) ( X ta(7?) = 9 X + ta(7?) 7=) t yin- yjn- ln- Vn7设总体X服从正态分布N(“ R),其中未知，/未知，X2,，X“是简单随机样本，记x=-yxt,则当“的置信区间为(戸一二，戸+“05
7、二)时, n 伺y/n其置信水平为(C )(A) 0. 90(B) 0. 95(C) 0. 975(D) 0. 058.从总体中抽取简单随机样本X2 X3 ,易证估计量=lx +lx,+lx =Lx-X-X.2 136321441iii97A=-x1+-x2+-x3, z74=-X1+X2+-X33 3o55均是总体均值“的无偏估计疑，则其中最有效的估计量是(B )(C)必(D) a9.从一批零件中随机地抽取100件测疑其直径，测得平均直径为5. 2cm,标准差为1.6cm,Y _ c o 现想知道这批零件的直径是否符合标准販采用检验法，并取统计量为心佩则在显著性水平a下，其接受域为（D ）(
8、A) |/|妆(99)B)|/|Ua a/y/n（D）若备择假设则其拒绝域为兰二淫a/y/ll三. （10分）现有一批种子，其中良种数占丄，从中任选6000粒，问能从0. 99的概6率保证其中良种所占的比例与丄相差多少？这时相应的良种数在哪一个围？6解答：这个问題属于“二项分布,且 n=6000, p二 1/6。故 y =E（X）=np=6000xl/6=1000, D（X） = o 2 = np（1-p）二6000x（l/6）x（l-l/6）=833. 33。切比雪夫不等式为P X-u ：eN1-o2 /。我们取e二6000 x （1/100）=60粒。所以，P|X-y |l-833. 33
9、/602= 1-833. 33/3600 = 0.7685。换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的槪率大于等于0. 7685。这个概率（0.7685）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1/100。四、（10分）设总体X服从正态分布N（,b2），假如要以99%的概率保证偏差|X-/| 0，试问：在cr2=0.2时，样本容量”应取多大？解答因为X1，天2,，X2%是正态分布N （“，胪）的个简单随机样本，故由期望与方差的性质可得，E （X+X加=2/i, D （疋+XQ 如.从而，随机变量（X1+X”1）,（X2+X+2），（Xn+JC2n
10、）相互独立，且均服从正态分布N（2“，2护）.因此可以将其看作是取自总体N （2“，2以）的一个容量为北的简单随机样本，n2n且其样本均值为：丄工（Xi+X佔）二丄工占=2壬n 2172 2=1Z=1样本方差为：右王（X+X仇+厂2壬）2二占匕2=1因样本方差是总体方差的无偏估计，故即E (Y) =2 (n-1)以.五. (10分)设总体X服从0-1分布：P(X =x) = I儿严,x = 0.1；其中0 vpvl, q = l p,从总体X中抽取样本X|, X2,，X”，求样本均值乂的期望和方差、样本 方差S的期望.解答：E ( SXi) = SE(Xi)=nE(X)=npE ( SXi)/
11、n=SE(Xi)/n=E(X)=pD ( EXi)/n=SD(Xi)/nD(X)/n=p(1 -p)/n六、(10分)某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了 100家住户，得出每户每月平均 需要量为10kg,方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该 地区10 000户居民，在 = 0.01下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0. 99的概率满足需要？解答某商店为了了解居民对某种商品的需要,调查了 100 家住户，得出每户每月平均需要量为10千克，方差 为9.如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商 品的平均需要量进
12、行( = 0.01)区间估计,并依此 考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满 足需要？由题设，n=100;样本均值壬=10,样本方差s9, =0.01,查附表得 (99)二2.63,因此，居民对该商品平均需求量“的置信度为0.99 的置信区间为(10 - 2.63 x , 10 4- 2.63 x ) = (9.211,10.789) 10 * 10/因9.211x10000二92110(切)，所以最少要准备92110切这种商品，才能以0.99的概率满足需要.七、(10分)某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.
13、020. 020. 120.020.220.319.820.2问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化(a = O.O5) ?解答：(1)因为样本数据在20.0上下波动，所以 x 甲=-0.210+20. 0-20. 02, x 乙=0.210+20. 0=20. 02,S2 甲=1100. 34- 10X (0.210) 2=0. 0336(mm2)S2 乙=1100. 52- 10X (0.210)2=0. 0516(mm2)八、(10分)设总体X服从正态分布N(“ /),X2,，X”是从X中抽取的简单随机样本，其中“，未知，选择常数C,使统计量7 = C(X,.+1-X/)2是7?的无偏估计量.nn(2) e7 X EXi-x=k X EYi,而67 i=l2=1砒冃M纫裁紿r茶而g7T712* ivnn由E八二k 工 EXj-J(=nkaa i = l得：k=7T2n(n-l)
