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1、第 2 章 电磁场有限元分析简介电磁场的边值问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦（Maxwell ）方程组及由方程组深化出的其他偏微分方程问题。从求解问题的技术手段上来说，它可以分为解析求解和数值求解两大类。对于简单模型，有时可以得到方程的解析解。若模型复杂度增加，则往往很难获得模型的解析解。随着计算工具，特别是高速大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入到工业生产各个领域，解决问题的面越来越广，分析的问题也日趋复杂。电磁场数值分析是一门综合性的学科，涉及电磁场理论、数值分析、计算方法、计算机基础知识及高级语言等多个方面，但在计算上存在着共性。有限元法是一种常用的数值方法，并有相应的电
2、磁软件问世，其中ANSOFT 公司的 Maxwell3D/2D 就是非常优秀的电磁分析软件。本章将对电磁场的基本理论、电磁场有限元的求解及ANSOFT 公司的 Maxwell3D/2D作简单的介绍。至于完整的电磁理论描述，读者可以参考许多教科书。如果读者已熟悉电磁理论，完全可以略过本章，直接从第2 章开始学习如何使用Maxwell 电磁软件。1.1 电磁场基本理论麦克斯韦方程组在 19 世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克期韦方程组。它是电磁场理论的基础，也是工程电磁场数值分析的出发点。麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们
3、的微分形式，通过它们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。麦克斯韦方程组为法拉第电磁感应定律?B?E=-?麦克斯韦 -安培定律?=+?高斯电通定律? ? =高斯磁通定律? ? = 0电荷守恒定律?=-?式中， E 为电场强度， V/m ；D 为电通量密度， C/m；H 为磁场强度， A/m ；B 为磁通量密度， T ；J 为电流密度， A/ ； P 为电荷密度 C/m3 。上面 5 个方程中包含两个旋度方程式（1.1 ）、式（1.2 ）和 3 个散度方程式（1.3 ）、式（1.4 ）和式（ 1.5 ）。麦克斯韦方程组各方程之间的关系上面提到的麦克斯韦方程组的 5 个方程中，只有 3 个方程
4、是独立的，另外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方程，另外一个独立方程可以在散度方程式（ 1.3 ）和式（ 1.5 ）中任选一个，方程式（ 1.4 ）只能作为相关方程。读者可以参考表 1.1 。表 1.1 麦克斯韦方程组中的独立方程与相关方程独立 方程相 关方 程12312(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.1)(1.2)(1.5)(1.4)(1.3)1、方程式（ 1.1）与式（ 1.4）的关系对方程式（ 1.1）两边取散度，有?B?(?)=? ?根据矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零?B?=0?设在场域内B 关于时间和场点二阶混合偏导数连续
5、，则式（1.7）可以化为? B=0?即? ? =C 是与时间无关的常数。同理，? ? 也是与时间无关的常数，只要在初始时刻t=0 取C=0，则在 t0 以后的任意时刻恒有?=0由此，可以看出方程式（1.1）与式（ 1.4）是相关的，由方程式（1.1）可以推导出式（ 1.4）。2、方程式（ 1.2）、式（1.3）与式（ 1.5）之间的关系对方程式（ 1.2）两边取散度，有?(? )= ?+? = 0?显然，如果仅仅利用方程式（1.2）不能同时导出方程式（1.3）和式（ 1.5）。这时，要私将方程式（ 1.3）设为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.5）；要么将方程式（ 1.5）设定
6、为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.3）。1）方程式（1.11）与式（1.3）联合推导式（1.5）将方程式（1.3）代入式（1.11）有?+=0?2）方程式（ 1.11）与式（ 1.5）联合推导式（1.3）将方程式（ 1.5）代入式（ 1.11）有?(?)=0?即? ? ?=这里， C 为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻t=0 取C=0，则在t0 以后的任意时刻恒有? ? =本构关系场量 E、D 、B 、H 之间的关系，由媒质的特性决定，对于线性介质，本构关系为D=B=J=式中， 为介质的介电常数，F/m； 为介质的磁导率，H/m ； 为介质的电导率，S/m。还需要说明的是
7、，对于各向同性介质， 、 和 是标量；对于各向导性介质，它们是张量。如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件；对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件；对于静态场、稳态场、时谐场，只需配备边界条件。二阶电磁场微分方程在实际有限元计算中，通常并不针对麦克斯韦方程组中的一阶方程，常常先将方程化为二阶方程，然后针对二阶方程进行有限元数值求解。实际上，比较方便的做法是根据场的基本性质，引入辅助的计算量，如标量电势? 、矢量磁位A 等。Maxwell 常用的求解方程有二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程?(? )=?二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程?(?)=0二维交变电场
8、求解器所满足的复数拉普拉斯方程?(+)?= 0二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程1?=二维涡流场求解器所满足的波动方程组1?(?)=(?)(+)=? = (? )(+ )二维轴向磁场涡流求解器所满足的齐次波动方程1?(+? )+= 0三维静磁场和涡流求解器所满足的齐次波动方程组1)?(+ ?+= 0?(?)=0115 电磁场求解的边界条件电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，结合Maxwell 3D 2D，归结起来可概括为 6类。1、自然边界条件自然边界条件是软件系统的默认边界条件，不需要用户指定，是不同媒质交界面场量的切向和法向边界条件。2诺伊曼边界条件电磁场教科书中常常称诺伊曼边
9、界条件为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。 Maxwell 所提到的是齐次诺伊曼边界，即法向导数为零。它是Maxwell 系统默认边界条件，不需要用户指定。3狄利克莱边界条件电磁场教科书中常常称狄利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，也可以是常数和零。4对称边界条件对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相反。偶对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相同。采用
10、对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。5匹配边界条件匹配边界条件是模拟周期性结构的对称面，使主边界和从边界场量具有相同的幅度(对于时谐量还有相位)，相同或相反的方向。6气球边界条件气球边界条件是Maxwell2D 求解器常见的边界条件，常常指定在求解区的外边界处,用于模拟绝缘系统等。除此之外，有一些求解器中还有各自“特色”的边界条件如交变电场中的电阻边界、涡流场中的阻抗边界，主要用来模拟很薄的介质层。1 2 电磁场求解的有限元方法所谓的有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子区域通常称为“单元 ”或“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，
11、通过选取恰当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得非常简单，经过对每个单元进行重复而简单的计算，再将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的整个区域的解，这一整体矩阵又常常是稀疏矩阵，可以更进一步简化和加快求解过程。由于计算机非常适合重复性的计算和处理过程，因此整体矩阵的形成过程很容易使用计算机处理来实现。下面就以一个简单的例子说明有限元法的基本原理。121 一维有限元法1【例 11】问题的描述考虑一个两极板电容器的静电场分布问题。极板间充有密度为=的自由电荷，即自由电荷密度恰好等于介质的介电常数。前面已经介绍静电场所满足方程式(1.19) 。考虑到极板间只有一种介质，可以导出本例中静电场满
12、足的方程为?2=?1假定极板都接在0.5V 电源端，极板的间距为2，如图 1.1 所示。由于电容器的激励和几何形状都关于Y 轴对称，只要求解整个区域的一半即可，而另外一半可由对称关系得出。从边界条件上看，这种对称结构导致电力线垂直穿过Y 轴，使电势在该对称轴上沿x 方向的变化率为零，即对称面可以用齐次诺伊曼条件表示，为简化起见，这里没有考虑实际的物理单位。受到狄里克莱和齐次诺伊曼边界条件的约束，即|=1= 0.5? |=0= 0?假定电容器极板的尺寸远远大于极板间的距离t 那么电容器的电势分布问题简化为一维边值问题。2有限元求解用有限元求解问题的第一步就是划分单元。一般说来单元数越多，则近似解的精度就越高，当然计算量也就越大，越费时。所以单元数应该足够多，以保证精度。对于例【1.1】所考虑的问题，整个区域 (0， 1)被分割成 4 个单元，记为单元 el、单元 e2、单元 e3 和单元 e4。这些单元大小可以相同，也可以不同。在实际问题中，根据场分布的疏密程度，有限元可以具有不同的尺寸，这样便于处理复杂的几何结构和激励源。分割后的区域由4 个单元和5 个点组成，这些点称为“节点”，对应于这5 个点的电势记为? 1、? 2、? 3、? 4、?5，每一个单元都由相邻的两个节点所限定，如图1 2 所示。
