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1、苗J 7- 3 z変换的收敛域主要内容收敛域的定义、两种正项级数收敛性的判别方法几种常见序列的z变换收敛域问题点：几种常见序列的Z变换收敛域问题一、收敛域的定义对于任意给定的序列x(n),能使x(z)= x(n)z f，Ji=oo收敛的所有z值之集合为收敛域。(Regionof convergence 简称 ROC )与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同ooI n _a z 7? = 0例1：已知两序列分别为xi(n)wu(n), x2 (n)=- / anu(-n-l),分别求它们的z变
2、换，并确定它们 的收敛域。解:X=ZT (xl (n)=艺L旳=0co J -n_a z =77=0如果|z|a,则上面的级数收敛，这样得到Z a乙1 i乙 _ a Z-a(z) = ZT(x2 () =CO-n n=-D zn=n=011 z=1 =l-a z Z_an=coCO1-工(dj)由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同, 可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指 明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续 函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解 析函数。7k根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满 足绝对可和条件，即要求OO xn)zn l 1,级
3、数发散。 p = 1,不能肯定。根值判定法所谓根值判定法，是令正项级数一般项的72次 根等于Qr一lim an = pQVl,级数收敛。PV级数发散。P = 1,不能肯定。下面利用上述判定法讨论几类序列的Z变换收敛域问题三.几类序列的收敛域有限长序列（有始有终序列）1J这类序列只在有限的区间具有非零的有限值（片 n SJ此 时Z变换为 x（z）= ni nn当 /ij0 时， 收敛域为0 kl 0, n 0时,收敛域为k|o当 ,0, /220 时，收敛域为|z| v GOnn区间内，有非零的有限值的 序列兀(兀)8nx n RX其中为收敛半径可见，右边序列的收敛域是半X1#1的圆外部分。(1
4、) nO叶8冬1 V Z v OO(2) npO叶8Z A RxoOX(z)=工 x(n)zn nx n R因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为|乙n2X(z)=工兀(比)厂oo rz n2函饮左边序列：只在nSn区间内，有非零的有限值 的序列 xrT)n=com=-n sn=m sX=工x(-加)艺=工x(-n)zn=n2m=n2lim rxn)z1-1rtsms=Rns可见，左边序列的收敛域是半径为g的圆内部分。X(z) = x(n)znn=cooo n rz2z Rx2(1)山=一O z 0心2足2n20乙 心2 72 OC区间内，有非X(z)=工心)zoo n R勺“R a, b0, a0 )。解:xn = alun b，lun 1 = Xj n + x2 n由例1的结果可直接得到:SX1(Z)=工 Xxnz1n=-co(Z Q)Z-asX?(z)= X 兀2心=n=szZ-b因为ba，这样得到a+b77 2z(z)ZZ7X (z) = / + X? (z)=+ =Z-a z-b (z-Q)(Z-b)a z ba+bazb2z(z)X(z) =(Z_Q)(Z_b)jlm(z) 1.不同的序列可以得到相同的Z变换式吗? 2.判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ 3.序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
