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1、湖南六校联考试卷（一）试卷长沙县第一中学洞口县第一中学泸溪县第一中学永顺县第一中学双峰县第一中学浏阳市第一中学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 4 页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2. 本卷共 12
2、小题，每小题 5 分，共 60 分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U = 0,1, 2,3, 4，集合 A = 1, 2,3， B = 2, 4 ，则( U A) B 为( )A1,2,4B2,3,4C0,2,4D0,2,3,4第 1 页，总 4 页2. 下列命题中，为真命题的是()A若 acbc，则 abB若 ab，cd，则 acbdC若 ab，则1bc2，则 ab𝑎 𝑏3. 已知等比数列an 中， a3a11 = 4a7 ，数列bn 是等差数列，且b7 = a7 ，则b5 + b9 = （）A8B4C16D24. 对于
3、任意两个正整数m ， n ，定义某种运算“ ”如下：当m ， n 都为正偶数或正奇数时，m n = m + n ；当m ， n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， m n = mn ，则在此定义下，集合M =(a,b) | a b = 12, a N*,b N*中的元素个数是（）A10 个B15 个C16 个D18 个5. ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足acos B=bcos A，则 ABC 的形状是（）A正三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形6. 设常数a R .若 x2 +a 5x的二项展开式中 x7 项的系数为15，则a =（）A2B
4、2C3D37. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2 + y2 1，若将军从点B 17 -252A(3, 0) 处出发，河岸线所在直线方程为 x + y = 4 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）17A1C. 2D. 3 -8. 已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2，线段 PF1 的垂直平分线过
5、 F ，若椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为e ，则 2 + e2 的最小值为（）212e1263AB3C6D二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A. 若复数 z = 3 +i ，则 1 = 3 - i z1010B. 复数 z 满足 z - 2i = 1， z 在复平面内对应的点为( x, y) ，则 x2 + ( y - 2)2 = 1C. 若复数 z1 ， z2 满足 z1 = z2 ，则 z1 z2 0 D复
6、数 z = 1- 3i 的虚部是 310. 下图是某市 6 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 6 月 1 日至 6 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天下列说法正确的有（）A. 该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100B. 此人到达当日空气质量优良的概率为 813C. 此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 213D. 每连续 3 天计算一次空气质量指数的方差，其中第 5 天到第 7 天的方差最大211. 已知四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的上下
7、底面均为正方形，其中 AB = 2，A1B1 =2, AA1 = BB1 = CC1 = 2 ，则下述正确的是()3A. 该四棱合的高为B. AA1 CC1C. 该四棱台的表面积为 26D该四棱合外接球的表面积为16p12已知函数 f ( x) = -x2 - 3x, x 2) = 0.2 ，则 P ( X 0) = .15. 如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 ，底面是边长为a 的菱形， BAD = 60 ，AA1 = 2a ，则直线 A1C1 与 B1C 成角的余弦值为 16. 已知函数 f ( x) = 2sin wx (w 0) ，则 f ( x) 的最大值为 ，若 f (
8、 x) 在区间- p , p 上是增函数，则w 的取值范围是 .4 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知函数 f ( x) = Asin(wx +j ) ，（A 0 ， w 0 ， jp）的最小正周期为4p .2（1）从 f - p = 0 ； f - 2p = -1；x R ，都有 f ( x) f 2p 这三个条件中，选择合3 3 3 适的两个条件，求函数 f ( x) 的解析式；（2）求（1）中所求得的函数 f ( x) 在区间- 2p , p 上的最大值和最小值.33 18（12 分）已知 S 是数列a 的前 n
9、项和，且 S = 1 - a(n N * )nnn4n（1）求数列a 的通项公式； （2）设b = (n + 2)an ，数列b 的前n 项和为T ，求证：T t(x -1) +1恒成立，求正整数 t 的最大值.x2 + y2 = ( P -1, 3 ，3 ，P (0,- 3), P (1，1)21（12 分）已知椭圆C：221 ab0) ，四点 1 2 P2 1, 2 34中ab恰有三点在椭圆C 上(1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线l : y = kx + m(m 0) 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ， N ，当MON 面积取最小值时，求此时直线l
10、的方程22（12 分）疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了 A餐、B 餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时 A、B 两种餐盒的配餐比例为 3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查 5 个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，（1） 求抽取的 5 个餐盒中有三个 B 餐的概率；（2） 某天配餐后，食堂管理人员怀疑 B 餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个 B 餐盒查看.如果抽出一个是 A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是 B 餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过n (n N* ) 次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中 A、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到的 A 餐盒数以随机变量 X 表示，求 X 的分布列与数学期望.
