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1、构造长方体巧解异面直线问题罗冬传立体几何的教学目的是培养学生的空间想象能力。高中学生已经有了初步的空间想象能力， 大脑有了一些几何体的表象。但这些表象还是不清晰的、不稳定的、不全面的。面对异面直线 问题他们不知如何构造线线关系、线面关系利用有关定理解题，这时我们可以通过构造学生熟 悉的几何体如长方体来解决问题，在问题解决后把长方体去掉让学生直接解题，以此来培养学 生的空间想象能力。一、线面综合性选择填空题有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出错， 得分率一直较低。为了提高做题的准确性，我们可以引导学生充分利用学过的几何体如长方体 等来解答问题。例1.已知m
2、、n是不同的直线，a、B是不重合的平面，给出下列命题：(1) 若 a/B，m ua,n u。，贝m/n。(2) 若 m， n ua,m/p,n/。，则 a/B。(3) 若 ma， n， m/n，则 a/B。(4) m、n 是两条异面直线，若 m/a，m/B，n/a， 2/B。上面命题中，真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)解：构造长方体ABCD - ABCD如图所示，取ABCD为a，ABCD为B，AB为m，BC 为队则(1)不成立。图1取ABCD为a，CDD C为B，AB为m，EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则(2)不 成立。取 ABCD 为a，A B C D 为B，AA 为 m，
3、BB 为 n，由 m la，n P，m/n，则 n LB故 a/B，(3)成立。取ABCD为a，AB C D为B，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD、BB的中点， H、G 分别在 BB、CC 上，且 GH/BC，N、H 不重合，则 BC/B，BD/B，故 a/B，(4)成 立，从而真命题的序是(3) (4)。例2.给出下列关于互不相同的直线m、1、n和平面a、B的四个命题：A.若mua，l A a = A，A wm，则 1与 m 不共面；(2) 若 m、1 是异面直线，1/a，m/a，且 n1， nm，则 na；(3) 若 1/a，m/B，a/B，则 1/m；(4) 若 1 ua，m u
4、a，l A m =点 A，l /。，m /。，则 a/B。其中为假命题的是()A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)解：构造长方体ABCD - ABCD，如图2所示。图2取ABCD为a, AA为l, BC为m,则1、m是异面直线，故（1）成立取 ABCD 为a，A B 为 1, EF 为 m, E、F 分别是 BB，CC 的中点，BB 为 n，则 nAB, mBC 故 na, （2）成立。取 ABCD 为a, A B C D 为B, EF 为 m, FG 为 1, E、F、G 分 别是中点，则EF与FG相交，则（3）不成立。故选（C）。二、三条直线相互异面的问题例3.三条直线a、b、
5、c两两异面，作直线1与三条直线都相交，则直线1可以作多少条？解：构造长方体ABCD - ABCD，如图3所示，取直线AB为a, DD为b, C E为c,其 中E为BC的中点，则a、b、c两两异面，由于直线DE与AB相交，故DE与三异面直线同时相 交。过AB作平面交DD、CC、EC分别于F、G、H，当G与C不重合时，直线FH必与AB 相交，即FH与三异面直线同时相交，又过AB作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同 时相交的直线有无数条。图3三、异面直线在一平面内的射影问题例4.设a、b是空间的两条直线，它们在平面a上的射影是两条相交直线，它们在平面B上 的射影是两条平行直线，它们在平面Y上的
6、射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面Y有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.无数个解：构造长方体ABCD - A B C D，如图4所示，取A B为a, D C为b,而ABB A为a, ABCD为B,则ADD A为y，故与ADD A平行的平面都满足题意，故平面y有无数个，选（D）。图4四、异面直线所成角与距离问题例5.已知AA是异面直线a、b的公垂线，a、b所成的角为60,在直线a上取A P=8cm, AA =4cm，求点P到直线b的距离。解：如图5所示，构造长方体ABCD - ABCD使ZCAB=60, AA =4, P是A C上一 点,A P=8，则A C可看做直线a, AB为直线b
7、,AA是a、b的公垂线段，连结AC,则AC/A C， ZCAB即a、b所成的角，作PE 1 AC于E, EFXAB于F,则PFXAB，故PF即所求距离。PF =、JPE 2 + EF 2 =： AA2 + AE 2 - sin 2 60 = 8点P到直线b的距离是8cm。D图5五、与异面直线成等角的直线问题例6.异面直线a、b成60角，过空间中的一点P作直线与a、b都成70角，则可以作出 多少条这样的直线？解：构造长方体ABCD - ABCD，使P为ABCD的对角线的交点，且ACIla , B D / b,ZA PD =60 。故只须看过P点可作多少条直线与A C，B D都成70角。如图6所示
8、M、M、N、N、G、G、H、H分别是所在直线的中点，由ZMPD =ZMPA =30 70,NNPA =NNPB =60 70，故 MG 上有点 E,使NEPD =NEPA =70，同理，NH、N H上也有相应的点F、F使FP、F P与直线A C、B D都成70角。综上，共有四 条直线与a、b都成70角。图6推广：设异面直线a、b所成的角为a, P为空间中的任一点，过点P作直线l与a、b都 成9角，则l可以作多少条？结论：当9 =一时，l有且只有一条；2当9一时，若a =，则9 =时，l有2条；224-9-时，l有4条；42兀兀一a兀j, e右a ，则0 时，l有4条2220 +四一时，l有3条2a0兰一乏时，1有2条220 = a， 1有1条2
