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1、#人教版九年级下册数学知识点总结26 反比例函数一、反比例函数的概念_ k1. 卩一兀（比芝）可以写成y=（。）的形式，注意自变量x的指数为i,在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数 力工这一限制条件；2. 卩一；（比工 ）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从 而得到反比例函数的解析式；ky =3反比例函数兀的自变量孟工，故函数图像与x轴、y轴无交点.二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x 0，函数值y 0，所以它的图像与x轴、
2、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点： 列表时选取的数值宜对称选取； 列表时选取的数值越多，画的图像越精确； 连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。三、反比例函数及其图像的性质1.函数解析式：尸(上工0)2 自变量的取值范围：卞工3图像：越小，图像的 弯（1）图像的形状：双曲线，胡越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直 曲度越大。（2）图像的位置和性质：当丨1：时，图像的两支分别位于一
3、、三象限；在每个象限内， y随x的增大而减小; 当时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内， y随x的增大而增大。（3）对称性：图像关于原点对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则（-么，-山）在双曲线的另一支。图像关于直线y = x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，贝U# ）和（一心，一曲）在双曲线的另一支上。.4. k的几何意义如图1,设点P （a，b）是双曲线孟上任意一点，作PALx轴于A点，PB丄y轴于B点，则矩形PBOA勺面积是|k|_| （三角形PAC和三角形PBO勺面积都是1/2|k| ）。|如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCL P
4、A的延长线于C, 则有三角形PQC的面积为2|k| 。5.说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能 概而论。（2）直线=號与双曲线卩一工的关系：当E也uO时，两图像没有交点；当七】也 时，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点 成中心对称.四、实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。2. 注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.五、充分利用数形结合的思想解决问题27 相似三角形一、图形的相似1. 图形的相似：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。（相似的
5、符 号：S）性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。2. 判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。3. 相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。二、相似三角形1. 性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角 形相似。2. 判定.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。如果两个三角 形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（三边对应成比例两个三角形的两个角对应相等；两
6、边对应成比例，且夹角相等；相似三角形的一切对应线段 （对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等） 的比等于相似比。）3. 相似三角形应用视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域。4. 相似三角形的周长与面积：相似三角形周长的比等于相似比。相似多边形周长的比等 于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似多边形面积的比等于相似比的平 方。三、位似1. 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2. 性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以
7、原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形 的对应点的坐标的比等于 k或-k。1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图 形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比.禾U用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位 似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意 的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。6、 根据一个位似中心可以作两个关
8、于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似 中心的两侧，并且关于位似中心对称。28 锐角三角函数、锐角三角函数1 正弦：在Rt ABC中，锐角/A的对边a与斜边的比叫做/ A的正弦，记作sinA ,即sinA= / A的对边/ 斜边=a/c ;2. 余弦：在Rt ABC中，锐角/ A的邻边b与斜边的比叫做/ A的余弦，记作cosA，即cosA=Z A的邻边/ 斜边=b/c ;3. 正切：在Rt ABC中，锐角/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记作tanA,即tanA=ZA的对边/ A的邻边=a/btanA是一个完整的符号，它表示/ A的正切，记号里习惯省去角的符号：tanA没有
9、单位，它 表示一个比值，即直角三角形中/ A的对边与邻边的比；tanA不表示“ tan ”乘以“ A” ；tanA的值 越大，梯子越陡，/ A越大；/ A越大，梯子越陡，tanA的值越大。4、 余切：定义：在Rt ABC中，锐角/ A的邻边与对边的比叫做/ A的余切，记作cotA，即cotA= / A 的邻边/ / A的对边=b/a ;5、 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称 正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于 它的余角的余函数）用等式表达：45 ，60 ，正切值随着角 值、余切值随 si
10、n a 1，0若/ A 为锐角，则 si nA = cos（90 - / A）6记住特殊角的三角函数值表0，30， 90。7、当角度在090间变化时，正弦值、 度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦 着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。0 cos a 1。同角的三角函数间的关系：tan a cot a =1，tan a =si n a /cos a， cot a =cos a /sin a， Sin 2a +COS2 a =1二、解直角三角形1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。2在解直角三角形的过程中用到的关系:（在厶ABC中, Z C为直角，/ A、/ B、/
11、C所对的边分别为a、b、c，）（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（勾股定理）（2）两锐角的关系：Z A+（3）边与角之间的关系：/ B=90 ；si nA =a/c ； (a= c si nA) cosA =b/c ； (b= c cosA) tanA=a/b 。sinA= cosB cosA =sinBsinA= cos(90 -A) 2 2 .sin a +cos a =129 投影与视图一、投影1 投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影， 照射光线叫做 投影线，投影所在的平面叫做 投影面。2 平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。（光
12、源特别远）3中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影4. 正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影 面的位置有关。5 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。当物体的某 个面顶斜于投影面时， 这个面的正投影变小。 当物体的某个面垂直于投影面时， 这个面的正投影成为 一条直线。二、三视图1三视图：是观测者从三个不同位置 （ 正面、水平面、侧面 ）观察同一个空间几何体而画出的图形。 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整 的表达物体的结构。2主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。 3俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。4左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。5 三个视图的位置关系：主视图在上、俯视图在下、左视图在右；主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表示物体的宽。主视、俯视 长 对正 ，主视、左视 高平齐，左视、俯视 宽相等 。6画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线。
