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1、数学八年级上册知识点汇总及常考题型汇编人：高科寿第一章 全等三角形【知识结构框图】三角形全等的判定命题、公理与定理尺规作图全等三角形的判定直角三角形全等的判定逆命题与逆定理作垂线作线段（HL）（SSS）（ASA）（SAS）（AAS）作角作角平分线作垂直平分线【知识点】一、定义及表示1、定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的
2、边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、表示 全等用“”表示，读作“全等于”。如：ABC全等于DEF，写作：ABCDEF 注意：若ABCDEF，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F 二、判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(A
3、SA或“角边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。 6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全
4、等。 三、性质三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法： 1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
5、全等。(HL) 【运用】1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。 2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。 4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。 5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。 【做题技巧】一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需
6、要什么条件 ，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。 【例题分析】例1：（2006浙江金华） 如图，ABC与ABD中，AD与BC相交于O点，1=2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明. 分析： 要说明AC=BD，根据图形想到先说明ABCBAD，题目中已经知道12，ABAB，只需一组对边相等或一组对角相等即可. 解：添加的条件是：BC
7、=AD. 证明：在ABC与BAD中，12，ABAB，A=A ABCBAD（SAS）. AC=BD. 小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：BC=AD，C=D，CAD=DBC，CAB=DBA，都可得CABDBA，从而有AC=BD. ECDBA例2 （2006攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. 所添条件为_. 你得到的一对全等三角形是： . 证明： 分析： 在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形. 解：所添条件为CE=ED
8、. 得到的一对全等三角形是CAEDAE. 证明：在CAE和DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE， 所以 CAEDAE（SSS）. 小结： 本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视. 例3.(2008年永州) 下列命题是假命题的是（）A两点之间，线段最短B过不在同一直线上的三点有且只有一个圆C一组对应边相等的两个等边三角形全等D对角线相等的四边形是矩形答案:D解析:考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例.随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来,所以D是假命题.例4具备下列条件的两个三角形，全等
9、的是A两个角分别相等，且有一边相等B一边相等，且这边上的高也相等C两边分别相等，且这两边的夹角也相等D两边且其中一条对应边的对角对应相等知识点扫描:全等三角形的判定. 注意对应！题目解析:A项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相等，但大三角形的短边=小三角形的长边. B项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等. C项两边及夹角相等，由全等公理可以得到. D项SSA不能判定全等. 故选C例5. 在ABC与ABC中, A+B=C, B+C=A,且b-a=b-c,b+a=b+c,则这两个三角形( )(A)不一定全等(B)不全等(C)根据“SAS”全等(D)根据“AS
10、A”全等题目解析:A+B=C, B+C=A,C=A=90.又b-a=b-c,b+a=b+c，两式相加，得b=b，则a=c.则ABCCBA(SAS)故选C例6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由题目解析:全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全等的. 所以测量A，B的度数和线段AB的长度，用ASA得全等. 解:测量A，B的度数和线段AB的长度，做A=A，AB=ABB=B，则ABC和原三角形全等，据ASA定理例7如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AF=CE，BEDF，BE=DF求证：
11、ABCD知识点扫描:全等三角形的判定、性质. 平行线的判定. 题目解析:从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行. 但是注意：在证AEBCFD中，不要错误地把AF与CE当成了这两个三角形的对应边其实，AE与CF才是这两个三角形的对应边证明：AF=CE，A、F、E、C共线，AE=CF. BEDF，AEB=CFD. 在AEB和CFD中，AEBCFD，A=C，ABCD.例8如图，ACB=90，AC=BC，D为AB上一点，AECD于E，BFDC交CD的延长线于F求证：BF=CE知识点扫描:全等三角形的判定及性质. 和同角互余的两角相等. 题目解析:这个图形也是很典
12、型的全等三角形图形. 所以考虑证ACECBF（AAS），从而由全等性质得到：BF=CE. 证全等用AAS，直角相等，和AC=BC都是显见的，再找一角：EAC=FCB，这一相等由同角（ACE）的余角相等得到. 证明：AECF，ECACAE=90又BCA=90，BCFECA=ECACAEBCF=CAEAECF，AEC=90BFCF，BFC=90又AC=BC，BCFCAEBF=CE例9已知：如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰三角形.求证：（1）BD=CE；（2）1=2.题目解析:图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了. 找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件. 证EACDA
13、B. 证明：BAC=EAD=90，BAC+DAC=EAD+DAC.即BAD=EAC.又AE=AD,AB=AC,EACDAB,BD=CE, 1=2.例10.如图，在ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD.题目解析:构造全等三角形，过E作EGAB于G. 证明EFGDFA即可. （AAS）. 证明：过E作EGAB于G.则AEG=30.在AEG与ABC中，AE=AB，AEG=CAB=30，BCA=EGA=90，EAGABC，EG=AC=AD.又在ADF与GEF中，AD=GE，AFD=GFE，DAF=EGF=90ADFGEF，DF=EF.例11如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E（1）若BC在DE的同侧（如图）且AD=CE，求证：BAAC（2）若BC在DE的两侧（如图）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由题目解析:直接证明垂直无路，要“曲线救国”，设法证明DAB+EAC=90，这还是不能直接达到，注意到DAB和EAC所在三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证DAB=ACE，这由全等不难得到. 第二问方法与第一问类似，故不赘述. 证明：（1）在RtABD和RtCAE中，ABDCAE（H
