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1、寒窗读尽日，金榜题名时。祝你2019高考大捷！ 2019年高考数学冲刺：数列专题总结【高考展望】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中与之间的互化关系是高考解答题的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.【知识升华】1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、
2、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如与的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7.数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的
3、应用.8.本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例1将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1
4、1 【思路点拨】计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。【解析】第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32举一反三【变式1】已知数列的前项和为，且满足（1）证明：数列为等差数列； （2）求及. 【解析】（1）当时， 是以为首项，2为公差的等差数列 （2），当时， 考点二：数列递推关系式的理解与应用例2数列满足，若，则( )（） （） （） （） 【思路点拨】对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.【解析1】，.相叠加得.， .， ，.【解析2】由得
5、：，因为，所以.【解析3】由得：从而；.叠加得：.， 从而.【总结升华】数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系，如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.举一反三【变式1】设有唯一解，（1）问数列是否是等差数列？（2）求的值.【解析】（1）由，由已知得，又因为.数列是首项为1002，公差等于的等差数列. （2）由（1）知考点三：数列的通项与前n项和之间的关系与应用例3.已知在正项数列中，表示前n项和，且，求.【思路点拨】转化为只含或者只含的递推关系式.【解析1】由已知，得当时，；当时，代入已知有，即.，又，
6、故.数列是首项为，公差的等差数列，故.【解析2】由已知，得当n=1时，；当时，因为，所以.， ，因为，所以，所以.举一反三【变式1】设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前n项和Tn【解析】（1）当an的通项公式为的等差数列.设bn的公比为由得故（2）两式相减得考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用例4已知数列满足()（）求数列的通项公式；（）若数列满足(),证明:是等差数列;【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。【解析】（I）解： ，是以为首项，2为公比的等比数列。即（）（II
7、）证法一：，即 ，得，即 ，得， 即故是等差数列.举一反三【变式1】设正项数列an的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等。（1）求证数列为等差数列；（2）求an通项公式【解析】（1）由题意：即 当n=1时， 当n2时，。因为an为正项数列，故Sn递增，不能对正整数n恒成立，即数列为等差数列，公差为（2），考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用例5已知数列和满足:且是以q为公比的等比数列. （）证明：； （）若证明数列是等比数列； （）求和：.【思路点拨】本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分
8、析问题能力和推理能力【解析1】（I）证：由，有，（II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故【解析2】（I）同解法1（I）（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）的类似方法得，下同解法1举一反三【变式1】某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 , 因此，历年所交纳的储备金数目, ， 是一个公差为 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为（）,那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年
9、所交纳的储备金就变成，. 以表示到第年末所累计的储备金总额.（）写出与（）的递推关系式；（）求证，其中是一个等比数列，是一个等差数列.【解析】（I）我们有 （II），对反复使用上述关系式，得= 在式两端同乘1+r，得 ，得即记，则，其中是等比数列，且首项为，公比为；是等差数列，且首项为，公比为.考点六：数列与函数的迭代问题例6.已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q(qR且q1)的等比数列，若，。（1）求数列、的通项公式；（2）设数列对任意自然数n都有成立，求的值；（3）比较的大小。+【解析】（1），所以 解得所以，所以 解得所以（2）时，两式相减并整理，得所以（3）比较的大小。+
10、，时，时，所以.举一反三【变式1】已知各项全不为零的数列的前k项和为，且（），其中 （）求数列的通项公式； （II）对任意给定的正整数 ，数列满足.求.【解析】（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故考点七：数列综合应用与创新问题例7设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.（）求，并求的值；（）令，证明数列是等差数列；（）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：.【思路点拨】根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求【解析】（）取，；再取，则，即，是定义在上的单调函数，解得，或（舍去）.（）设，则，再令，则，即是定义
11、在上的单调函数，即，解得：或，又，则，由，所以是等差数列. （3）由（2）得，则所以；又当时，则，故. 举一反三：【变式1】在（）个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.则= ，= ，的表达式为 ；【解析】由已知得，.【变式2】已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有；（3）记（n=1,2,），求数列的前n项和【解析】（1），是方程的两个根， （2）， ，由基本不等式可知（当且仅当时取等号），同样，（n=1,2,） （3），而，即， ，同理，又，.
