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1、 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】韦达定理的应用与提高自招题集应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天
2、数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，则这个方程根的情况是（）A有两个正根B有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式=b24ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负
3、情况【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大故选：C【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析1、定义：若x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根，则有x1 + x2 = -，x1x2 = 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x1 + x2 =-p，x1x2 =q2、应用的前提条件：根的
4、判别式0 方程有实数根。3、若一个方程的两个为x1，x2 ，那么这个一元二次方程为ax2+(x1+x2)x+ x1x2=0(a0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+a)(x2+a)= x1x2 +a(x1+x2) +a2 =-b +a2(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a0，且必须有实数根，即0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二
5、次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。）例：不解方程，判别方程两根的符号。解：，42(7)650 方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为， 0 原方程有两个异号的实数根
6、。（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。（3）运用判别式及根与系数的关系解题。例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根则有 又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1） （2）若， 则有： ；即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，此种情况不成立。若 ， 则有：即有：解这个不等式组，得；又，当时，两根能同号 练习：1设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。二根均大于1；一根大于1，另
7、一根小于1。2（2013秋?沙湾区期末）关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于4，则k的取值范围是（）Ak1Bk0C1k0D1k03（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个(4)运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2 ，求（x1-x2）2的值解：由题意及韦达定理得：x1+x2= -（
8、-）=，x1x2 =(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =（）2-4=（x1-x2）2的值是(5) 运用根与系数的关系解决几何问题例：在ABC中，若C=90，AB=5，AC、BC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，求k的值和ABC的面积解：AC2+BC2=25(AC+BC)2-2ACBC=25AC+BC=2K+3,ACBC=K2+3K+2(2K+3)2-2(K2+3K+2)=25整理，得k2+3k-10=0解得k1=-5,k2=2AC+BC=2K+30k, k=2SABC = ACBC=(K2+3K+2)=6【要点讲解】1求代数式的值应
9、用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例1 若a，b为实数，且，求的值。思路 注意a，b为方程的二实根；（隐含）。解 （1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明 此题易漏解a=b的情况。例2 若，且，试求代数式的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，练习：（2017?黔东南州二模）设a，b是方程x2+x2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2016D20172构造一元
10、二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。例3 设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解 （1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（2）由已知条件可得 解之可得由得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七个方程，其中无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例4 已知a，b，c为实数，且满足条件：
11、，求证a=b。证明 由已知得，。根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为由a，b为实数知此方程有实根。，故c=0，从而。这表明有两个相等实根，即有a=b。说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。例6 解方程。解：原方程可变形为。令，。则, 。由韦达定理逆定理知，以a，为根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9。或通过求解x结果相同，且严谨。，（舍去）。解之得，。此种方法应检验：是或否成立
12、强化训练A 级1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为_。2.若， ，则_。3 .已知和是方程的二实根，则_。4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。级 5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。求证：，是方程的实根。6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。参考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。2提示：由x，y为方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4设二个不等的正整数根为，由韦达定理，有消去m，得。即。则且。，。故。5由
13、韦达定理有，。又，。二式相减得。，。将代入有。从而 ，同理 和是方程的根。6当时，可知，所以，当时，易证得。从而，为方程的二不同实根。，。于是，。当时，方程为。解得 或取，即能符合题意，故k的值为。练习：1、设a、b是方程x2+x2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2012D20132（2012?德清县自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3已知a+b=3，ab=7，则代数式2a2+b2+3b的值为4（2015?黄冈中学自主招生）已知实数ab，且满足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2则的值为5（2013?自贡）已知关于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2则正确结论的序号是（填上你认为正确结论的所有序号）6（2013?荆门）设x1，x2是方程x2x2013=0的两实数根，则=7（2012?成都模拟）若，是方程x23x+1=0的两个根，则2+3=8（2010?南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1（x22+5x23）+a=2，则a=89（2010?宁阳县模拟）已知实数a、b（ab）
