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1、6.3 晶体的双折射和二向色性一束单色光在晶体表面折射时（图 6-5），一般可以产生两束折射光，这种现象叫做双折射。两束折射光中，有一束总是遵守折射定律，称为寻常光，用符 号o表示；另一束一般不遵守折射定律，称为非常光，用符号e表示。o光和e 光都是线偏振光。图 6-5为了说明 o 光和 e 光的振动方向和传播 方向，需要了解晶体内某些特殊的方向和平 面：光轴晶体内一个特殊的方向，当光 沿这个方向传播时，不发生双折射现象，并 且o光和e光的传播速度相等。只有一个光 轴方向的晶体，称为单轴晶体（如方解石、石英、红宝石等）。有两个光轴方向的晶体，称为双轴晶体（如云母、霰石、蓝 宝石等）。主平面由o
2、光和光轴组成的面称o主平面；由e光和光轴组成的面称e主平面。 o 光的电矢量振动方向垂直于 o 主平面， e 光的电矢量振动方向则在 e主平面内。主截面由光轴和晶体表面法线组成的面。可以证明，当光线以主截面为 入射面时，o光和e光都在主截面内，这时主截面也是o光和e光的共同主平面。晶体产生双折射的原因，在图 6-6于晶体在光学上的各向异性。由 电磁理论可以证明，对于晶体内 除光轴外的一个给定的方向，允 许两束电矢量互相垂直的线偏振 光以不同的速度传播。对于单轴 晶体，其中一束光的速度不随传 播方向改变，这就是 o 光。它的 波面是一个球面。另一束光的速 度随传播方向改变，这就是 e 光， 它的
3、波面是一个以光轴为对称的回转椭球面，其方程为c26-3)V 2 二一 n2cos2 0 + n2 sin2 0式中n是o光折射率，n是e光沿垂直于光轴方向传播时的折射率，0是e光线e与光轴的夹角，c是真空中光速。负晶体（n n ）和正晶体（n n）的o光、 e ee光波面分别如图6-6a）和b）所示。利用波面的概念，由惠更斯作图法便可求出 晶体中o光和e光的折射方向。应该注意，晶体中e光线的传播速度和方向一般地与它的波阵面的传播速度 和方向（沿波阵面法线方向）不同（见图6-7），后者称为法线速度。法线速度矢 量端点描绘的轨迹是法线面，它与波面的几何关系如图 6-8 所示，其方程为“、 cos2
4、 psin2 p(-N)2 二+(6-4)cn 2 n 2oe图6-8式中v表示法线速度，P表示法线速度矢量与光轴的夹角。法线面的空间形状N是一以光轴为对称轴的卵形面。利用晶体的双折射现象，可以制成各种偏振棱镜，使我们直接从自然光获得 偏振光。大部分晶体在自然光入射的情况下产生的o光和e光的强度相等。但是，也 有一些晶体对两支折射光的吸收相差很大，这种性质叫做而向色性。利用晶体的 二向色性可以制作偏振片。例题6.5利用式（6-3），证明晶体中e光线与光轴的夹角9和e光波阵面法线与光轴的夹角P之间有如下关系:tg9 二伫 tgpn 2e证式（6-3）是e光椭球面的方程, 显然波面与任一坐标面（如
5、图6-9yoz） 的截面是一椭圆。把式（6-3）写为v2 cos2 9v2 sin2 9一e+ e= 1（）2（）2nnoe令 z = v cos 9， y = v sin 9，则 yoz 面ee上的椭圆方程可写为z2y2+ ()2()2nn取微分，得到dz _ n2 y e dy n2 zo由图6-9可知，岁二tge ,二tg（180。-B） = -tgP，代入上式便可得到tge 二伫 tgpn2e例题6.6证明当tgP仝时，晶体中e光线与波法线间的夹角a有最大值，若入射光 no是钠荧光，试求出方解石晶体中a角的最大值。证 （1）由图6-9 可见对 B 求微商，得到da de 1dp dp由
6、于e二tg -1（伫tgp），故n2eda dedp dp11 n21 + f tg 2 pn2en2o sec2 p 1 n2en2n2e o (1 + tg2 卩)一1 n 4 + n 4 tg 2 peo当 a 取最大值时，daeo dp n4 + n4tg2peon2n2eo(1+tg 2 p)1二 o由上式得n 2 n 2 + n 2 n 2 tg 2 p n 4 n 4 tg 2 p 0 e oe oe o把式子改写为n2 (n2 - n2)tg 2p - n2 (n2 - n2) = 0o e oe e o于是得到tgp 二-nn(2)当 tgp =时n on2tg =fn2en
7、 2nnoe=on 2nne oe因此tgamax二 tg (6 -P)二tg tgB1 + tgOtgpn 2 - n 2oe2n noe所以n 2 - n 2a=tg -1 ( o)max2n noe对于方解石晶体，n二1.658 , n二1.468，故oeamaxtg -1(1.658)2 - (1.486)22 x 1.658 x 1.486=6。16对于正晶体，n n , a 为负值，表明波法线比光线远离光轴。 o e max例题6.7波长入=632.8nm的氦氖激光垂直入射到方解石晶片，晶片厚度d=0.013mm, 晶片表面与光轴成60角。求（1）晶片内o光与e光的夹角；（2） o
8、光和e光通 过晶片后的位相差。解 （1） o 光遵守折射定律，因此它将不偏折地通过晶片。此外，由图 6-7 所 示的惠更斯作图法，可见e光波法线的方向与o光相同，故P = 90。一 60。= 30。因此6 = tg-1(伫tgp) = tg-1(1.658)2 -tg30。 = 35。42n 2(1.486)2e由此得到 o 光与 e 光的夹角a =6 - p = 35。42 30。= 5。42（2）由于o光和e光都在图面内（图6-10），所以图面是o光和e光的共同主平面。o光的振动方向垂直于图面，以黑点表示。e光的振动方向在图面内，以图 6-10线条表示。（3） e光使法线沿P方向传播时的（
9、法线）折射率，拒式（6-4），可表示为n( P)=-vNy n2 cos2 P + n2 sin2 P eo于是1.658 x 1.486=1.6095n(30。)=(1.486)2 cos2 30 + (1.658)2 sin2 30因此o光和e光通过晶片后的位相差8 =孚(n - n )d = 还(1.658 -1.6095) x 0.013mm 沁 2兀九 。 e632.8 x 10-6 mm例题6.8 一束汞绿光在60角下入射到 KDP （磷酸二氢钾）晶体表面，晶体的与e光的夹角。n = 1.512， n = 1.470。设光轴与晶面平行，并垂直于入射面，试求晶体中o光 oe解本例所设
10、情况如图6-11所示。这时，e波波面与图面（入射面）的截线跟o波波面的截线类似，都是圆形。从图中容易看出，对于任意的入射角3，它的正1弦与e光折射角6的正弦之比都为2 esin 6BD c4 = nsin 6Rve2 ee式中R是e波面的圆截线的半径。由于C；是一常数,所以在本例的特殊情况下,e 光线遵守普通的折射定律，它的折射方向可按上式计算。当6 = 60时，e光的折射角6由下式求出：12esin 60sin 62 e二 1.470得到=sin -1 (sin 601.470)=366而0光的折射角sin 60。0- sin 1() - 34。562 e1.512因此o光与e光的夹角a-0
11、 0- 36。6 34。56- 1。102 e2o例题6.9用两块光轴互相垂直的直角方解石棱镜(顶角0二30。)胶合成的渥拉斯顿 (Wollaston)棱镜如图6-12所示。试求当一束自然光垂直入射时，从棱镜出射 的 0 光和 e 光的夹角。0/0/解光束通过第一块棱镜时,o光和e光不分开, 但传播速度不同。 o 光振动方向垂直于图面， e 光的振动方向在图面内。振动方向垂直于图面 的一支光进入第二块棱镜后是e光，传播速度与 在第一块棱镜内不同，因而在界面上发生折射， 折射角可由折射定律求出：sin 0vn=o = esin 0vn2 eeo得到n(n sin0 ).(1.658xsin30o
12、)3_r0 - sin 1( o1) - sin 1() - 33。552 en1.486e这支光在渥拉斯顿棱镜后表面的折射角式中n为空气折射率，虬为入射角，由图中的几何关系容易得到a1 =0 0 = 3。55，因此12 e1 - sin-1(1.486x sin355) - 5。492再看振动方向在图面内的一支光，它进入第二块棱镜后是o光，因而在两块 棱镜界面上的折射角由下式决定：sin0n1 = osin0n2 ee得到02en sin0=sin i (n)=sin i(1.468 xsin30。1.658)=26。37这支光在渥拉斯顿棱镜后表面的折射角 = sin-i（代 Sint ）
13、= sin一i（代 Sin（i 2。） = sin一1（1.658xsin3o23r） = 5。372nnaa所以，由棱镜出射的o光和e光的夹角为= += 5。49 + 5。37 = 11。262 2例题6.10用方解石晶体制成的尼科耳（Nico 1）棱镜如图6-13a）所示。今有一束强度 为I的线偏振光沿棱镜的长边方向入射，线偏振光的振动方向与棱镜主截面（图 6-13b）成60o角，问从棱镜另一端透出的光束的强度是多少？图 6-13解尼科耳棱镜的设计使得沿长边方向入射的光束在棱镜中产生的o光全反射, 因而从棱镜透出的是 e光，振动方向在主截面内。设入射光束的振幅为A （I 0 A2），那么出
14、射光束的振幅是0 0 0A = A cos 600强度则是I 二 I cos2 60 = 0.2510 0上式表达的透射光强度随线偏振光振动方向与尼科耳主截面的夹角而变的规律 叫做马吕斯（Malus）定律。例题6.11使自然光相继通过三个偏振片，第一与第三偏振片的透光轴（从偏振片透出的偏振光的振动方向）正交，第二偏振片的透光轴与第一片透光轴成 30 角。若入射自然光的强度为10，问最后透出的光强是多少？解 在不考虑偏振片对透射光的反射和吸收的情况下，从第一偏振片透出的线偏振光的强度I = -1。由于它的振动方向与第二偏振片的透光轴成30。角，1 2 0故按马吕斯定律，从第二偏振片出射的线偏振光的强度为
