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1、第1讲 二次函数的图象和性质第一部分 考点搜索一二次函数的定义： 一般地如果y= a、b、c是常数a0那么y叫做x的二次函数注意： 二次函数y=ax 2+bx+c的结构特征是：1、等号左边是函数,右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式,x的最 高 次 数 是 , 按 一次排列 2、强调二次项系数a0二次函数的同象和性质：1.二次函数y=ax 2+bx+c的同象是一条 ,其定点坐标为 对称轴式2.在抛物线y=ax 2+bx+c中：1.当a0时,y口向,当x-时,y随x的增大而 ,当x 时,y随x的增大而增大2、当a0时,开口向 当x-时,y随x增大而增大,当x 时,y随x增大而减小注意：注
2、意几个特殊形式的抛物线的特点1.y=ax2 ,对称轴 定点坐标2.y= ax2 +k,对称轴 定点坐标3.y=a 2对称轴 定点坐标4.y=a 2 +k对称轴 定点坐标三二次函数同象的平移注意：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可四二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a0,向下则a0 a越大,开口越b:对称轴位置,与a联系一起,用判断b=0时,对称轴是c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c0负半轴上则c0,当c=0时,抛物点过点注意：在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y= 当x=-1
3、时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号第二部分 典例精析考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 2012常州已知二次函数y=ax-22+ca0,当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别：y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系正确的是Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2思路分析：根据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,即可得到答案解：二次函数y=ax-22+ca0,该抛物线的开口向上,且对称轴是x=2抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数
4、值就越大,x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,y3y2y1故选B同步拓展12012衢州已知二次函数y=x2-7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0x1x2x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y1小结：考点二：二次函数的图象和性质例2 2012咸宁对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当x1时y随x的增大而减小,则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1；如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数
5、值为-3其中正确的说法是把你认为正确说法的序号都填上考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点思路分析：根据函数与方程的关系解答；找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性；将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断；根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式即可解：=4m2-4-3=4m2+120,它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确；当x1时y随x的增大而减小,函数的对称轴x=-1在直线x=1的右侧包括与直线x=1重合,则1,即m1,故本选项错误；将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即x
6、-1x+3=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误；当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,对称轴为x=1006,则=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-20122012-3=-3,故本选项正确故答案为同步拓展12012#如图,抛物线y1=ax+22-3与y2=x-32+1交于点A1,3,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C则以下结论：无论x取何值,y2的值总是正数；a=1；当x=0时,y2-y1=4；2AB=3AC；其中正确结论是A B C D 小结：考点三：抛物线的特征与
7、a、b、c的关系例3 2012玉林二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,则正确的结论是A B C D思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项错误；由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项正确；由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项错误；令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,
8、选项正确,即可得到正确的选项解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c1,选项错误；抛物线的对称轴为x=1,2a+b=0,选项正确；由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac0,即b24ac,选项错误；令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,方程的两根为x1,x2,且=1,与=2,x1+x2=2,选项正确,综上,正确的结论有故选C同步拓展1、2012重庆已知二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图所示对称轴为x=下列结论中,正确的是Aabc0 Ba+b=0 C2b+c0 D4a+c2b 22012孝感二次函数y=ax2+bx+ca,b,c是常数,a0图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部
9、分如图所示对于下列说法：abc0；a-b+c0；3a+c0；当-1x3时,y0其中正确的是把正确的序号都填上3、2012日照二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图所示,给出下列结论：b2-4ac0；2a+b0；4a-2b+c=0；a：b：c=-1：2：3其中正确的是A B C D小结：考点四：抛物线的平移例4 2012桂林如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是Ay=x+12-1 By=x+12+1 Cy=x-12+1 Dy=x-12-1 思路分析：首先根据A点所在位置设出A点坐标为m,m再根据AO=,利用勾股定理求出m的值,然后根据抛
10、物线平移的性质：左加右减,上加下减可得解析式解：A在直线y=x上,设Am,m,OA= ,m2+m2=2,解得：m=1m=-1舍去,m=1,A1,1,抛物线解析式为：y=x-12+1,故选：C同步拓展1.2012南京已知下列函数y=x2；y=-x2；y=x-12+2其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有填写所有正确选项的序号2.2012泰安将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为Ay=3x+22+3 By=3x-22+3 Cy=3x+22-3 Dy=3x-22-33.2012扬州将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单
11、位,那么所得抛物线的函数关系式是Ay=x+22+2 By=x+22-2 Cy=x-22+2 Dy=x-22-24.2012陕西在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上下或向左右平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为A1 B2 C3 D65.2012广安如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A-6,0和原点O0,0,它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为小结：第 第三部分 每课质检一、填空题12012白银二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y0时x的取值范围是Ax-1 Bx3 C-1x3 Dx-1或
12、x322012兰州二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=kk0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是Ak-3 Bk-3 Ck3 Dk332012北海已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为A-2,-1 B2,1 C2,-1 D-2,142012广元若二次函数y=ax2+bx+a2-2a、b为常数的图象如图,则a的值为A1 BC-D-25.2012西宁如同,二次函数y=ax2+bx+c的图象过1,1、2,1两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是A当x=0时,y的值大于1B当x=3时,y的值小于0C当x=1时,y的值大于1Dy的最大值小于0二、填空1、2012
13、长春在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=ax-32+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且ABx轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为2.2012苏州已知点Ax1,y1、Bx2,y2在二次函数y=x-12+1的图象上,若x1x21,则y1y2填、或= 3.2012#将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是4.2012成都有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2-2a-1x+aa-3=0有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数y=x2-a2+1x-a+2的图象不经过点1,0的概率是7 / 7
