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1、近世代数ppt课件引言基本概念群论环论域论应用与实例习题与解答contents目录01引言什么是近世代数近世代数是一门研究数学结构及其性质的学科，主要研究集合、群、环、域等抽象代数系统的结构、性质和关系。它起源于19世纪末，是代数学的一个重要分支，对数学和其它学科的发展有着深远的影响。近世代数的重要性近世代数是数学领域中的基础学科之一，是学习其它数学分支的重要基础。它对于理解数学的抽象本质和掌握数学的基本思想方法具有重要意义，有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的定义、性质和关系。通过学习本课程，学生将掌握近世代数的基本理
2、论和方法，能够运用代数工具解决实际问题，并为进一步学习其它数学分支打下坚实的基础。课程大纲简介02基本概念群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运算所组成的一个代数结构。这个代数结构满足封闭性、结合性、有单位元和逆元。群的定义整数加法群、实数乘法群、矩阵乘法群等。群的例子群的性质包括群的阶、群的子群、群的同态等。群的性质群环的定义环是由一个集合以及定义在这个集合上的两种运算（加法和乘法）所组成的一个代数结构。这个代数结构满足加法的交换律、结合律、有单位元；乘法满足封闭性、结合性、有单位元和消去律。环的例子整数环、多项式环、矩阵环等。环的性质环的性质包括环的理想、环的子环、环的同态等。环域是一
3、个特殊的代数闭环，即它是一个包含所有有限阶元素的交换环，且其所有子环都是域。域的定义有理数域、实数域、复数域等。域的例子域的性质包括域的子域、域的扩张等。域的性质域模的定义模是一个特殊的加法群，它有一个额外的乘法运算满足一定的性质。模在代数中有广泛的应用，特别是在同调代数和代数几何中。模的例子自由模、欧几里得模等。模的性质模的性质包括模的子模、模的同态等。模03群论封闭性群中任意两个元素的乘积仍属于该群。结合律群中任意三个元素的乘积满足结合律。单位元存在群中存在一个元素，与群中任意元素的乘积仍为该元素本身。逆元存在群中任意非单位元素都存在一个逆元，与该元素的乘积为单位元。群的性质同态两个群之间
4、的一个映射，满足映射的乘法运算保持不变。同态定理如果存在一个满同态，则原群与像群同构。同构两个群之间存在一一映射，且该映射保持乘法运算。群的同态与同构由一个元素生成的群。循环群群中任意两个元素的乘积仍为该元素本身。交换群在集合的元素之间进行置换的群。置换群根据群中元素的个数是否有限来划分。有限群与无限群群的结构04环论123介绍环的基本定义，包括加法、乘法运算，单位元、零元素等基本概念，以及环的封闭性、结合律、交换律等基本性质。环的定义与性质定义子环的概念，并讨论子环的性质和判定条件。环的子环介绍环的同态和同构的概念，并探讨它们在环论中的重要性和应用。环的同态与同构环的性质理想的定义与性质介绍
5、理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等，并讨论理想的封闭性、运算性质等。商环的定义与性质介绍商环的概念，以及商环的加法、乘法运算和单位元、零元素等基本概念。商环与同态讨论商环与同态的关系，以及商环在同态中的应用。理想与商环环的分解定理介绍环的分解定理，包括唯一分解定理、因子定理等，并探讨它们在环论中的重要性和应用。整环与域介绍整环和域的概念，并讨论整环和域的性质和判定条件。素环与质环介绍素环和质环的概念，并讨论它们的性质和判定条件。环的分解05域论域的扩张域的扩张定义如果存在一个集合F，它包含一个子集K，满足K对F的加法和乘法运算封闭，则称K是F的一个子域。如果存在一个非平凡的有限子集，它
6、与K中的元素通过加法和乘法运算封闭，则称K是F的一个有限子域。域的扩张定理如果E是F的一个子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一个多项式，那么E在F上形成一个子域。域的扩张性质如果E是F的一个子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一个不可约多项式，那么E在F上形成一个有限子域。有限域的定义如果一个域中元素的个数是有限的，那么这个域就称为有限域。有限域的应用有限域在密码学中有广泛的应用，如RSA算法和ElGamal算法等。有限域的性质有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。有限域在复数域中，任何一个n次多项式至多有n个根（包括重根）。代数基本定
7、理如果将多项式的系数看作是复平面上的点，那么这个多项式的零点就是这些点的垂直平分线。因此，代数基本定理可以解释为：在复平面上，一组n个点最多只能确定n条不同的垂直平分线。几何解释域的几何意义06应用与实例在公钥密码体制中，一个关键的步骤是找到一个适合的数学难题。例如，RSA算法基于大数因数分解问题，这是一个典型的代数问题。在Diffie-Hellman密钥交换中，需要解决离散对数问题。这是目前已知的最有效的算法，基于代数数论和有限域理论。密码学中的应用离散对数问题公钥密码体制线性码线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。高斯-
8、若尔当消元法在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代数中也有广泛的应用。编码理论中的应用量子力学中的态空间在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间概念非常相似。晶体结构和化学键在研究晶体结构和化学键时，经常需要用到群论的知识，如分子对称性、点群和空间群等。这些概念在代数学中也有相应的定义和性质。物理学中的应用07习题与解答1.1判断题：若$a$是整数，则$a2$也是整数。1.2选择题：下列哪个是群？第1章习题及解答第1章习题及解答简述群的基本性质。1.3简答题对。因为$a2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。1.1
9、答案1.2答案：（略）1.3答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。第1章习题及解答2.1判断题：若$a$是整数，则$a3$也是整数。2.2选择题：下列哪个是环？第2章习题及解答2.3简答题简述环的基本性质。要点一要点二2.1答案对。因为$a3$的定义是三个整数相乘，结果仍为整数。第2章习题及解答VS2.2答案：（略）2.3答案：环的基本性质包括封闭性、结合律、存在单位元和消去律。第2章习题及解答3.1判断题：若$a$是实数，则$a4$也是实数。3.2选择题：下列哪个是域？第3章习题及解答3.3简答题简述域的基本性质。3.1答案对。因为$a4$的定义是四个实数相乘，结果仍为实数。第3章习题及解答3.2答案：（略）3.3答案：域的基本性质包括封闭性、结合律、存在单位元和消去律，以及每个元素都有唯一的逆元。第3章习题及解答THANKS感谢观看
