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1、综合性实验设计题目：直线一级倒立摆班级：0 8 0 2姓名：郭长春指导老师：张白莉学号：200807211065摘要倒立摆是一个复杂的多变量强祸合不稳定非线性的系统，借助于 这样一个系统可以有效的检测各种控制理论的好坏。 本论文研究了倒 立摆系统的建模方法，采用 Lagrange 方程对一级倒立摆系统进行建 模。针对倒立摆的状态空间方程，采用 MatLab 软件对倒立摆的稳定 性，能控性，能观性和可控度做了分析 ;采用最优控制理论对倒立摆 系统进行稳摆控制并进行仿真， 并利用该理论将倒立摆的数学模型加 以改进， 并对改进后的倒立。 经过仿真分析确认改进后的倒立摆系统 控制效果得到了明显的改善。
2、正文1 倒立摆系统研究的背景随着各种控制理论的发展，理论的正确性，它在实际应用中的可行性，都需要用一个典型的对象来验证，这种控制对象必须能够比较各种控制理论的优劣。倒立摆系统就是我们需要的理想的实验控制平台。倒立摆控制系统，是一个复杂的多变量强祸合不稳定非线性系 统。对倒立摆系统进行研究，能有效的反映控制策略中的许多典型问题，针对倒立摆而研究的控制方法在双足机器人的行走平衡方面、军工方面、火箭发射过程的垂直度控制、卫星在飞行中的姿态控制以及日常生产过程和生活领域中的应用都非常广泛。因此，倒立摆系统的研究，有着重要的工业背景和实际意义。2 直线一级倒立摆系统的建模直线一级倒立摆的工作原理可简述为
3、：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回运动，从而使摆杆在垂平面内稳定下来。这样的系统就是倒立摆的控制系统如下图所示若小车不动，摆杆会由于重力作用倒下来若在水平方向给小车一个力，则摆杆受到一个力矩，这个力矩使摆杆朝与小车相反的方向运动，通过规律性的改变小车的受力方向使得摆杆在竖直方向左右摆动从而实现摆杆在竖直方向的动态平衡。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。图倒立摆系统其中:M 小车的质量m 摆杆的质量小车的摩擦系数摆杆转动轴心到杆质心的长度摆杆的惯量FX00加在小车上的力小车的位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的
4、夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和图是系统中小车和摆杆的受力分析图。 垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定, 义如图所示，图示方向为矢量正方向。因而矢量方向定图3-2小车及搖杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx F bx N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：d2N m (x l sin )dt2即:2N mx ml cos ml sin把这个等式代入式（3-1）中，就得到系统的第一个运动方程:2(M m)x bx ml cos ml sin为了推出系统的第二个运动方程, 面
5、方程：我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下mgmgmlmlcos )dt2sin ml2cos力矩平衡方程如下:注意：此方程中力矩的方向,Pl sinNl cos由于,coscos , sinsin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P和N，得到第二个运动方程：2(I ml ) mgl sin mlxcos设(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设 与1 (单位是弧度)相比很小，即 1，则可以进行近似处理：cos 1,sin,(d )2 0。用u来代表被dt控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：(I +ml2)$ mglmlX&(M m)X& b& mU& u对式(3-9
6、)进行拉普拉斯变换，得到(J1 +m1L2)mglm1Lr&(m0 m1)r& & m1L & u3.传递函数模型推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：R(s)(J1 M)马(s)smi L如果令V X，则有:(s)R(s)m,Ls22 2(J1 gL)s ggL(18-10)(s)V(s)m1L(J1 m1 L2)s2mpL把上式代入方程组的第二个方程，得到:(mo m) (J1 mL2)m|L(J1gL2)m|L倉(s)sml(s)s2 U(s)整理后得到传递函数:其中(s)U(s)s4(J1 m2) 3s(m。 mjam2sq(m0 mJmgL
7、 2 mgLssq2 20L) (gL)(18-11)4.状态空间方程模型 设系统状态空间方程为：X AX Buy CX Du方程组 对x,解代数方程，得到解如下:2(Ji m丄) u2 UJ1(m0 m1) m0m1 L2 2 2(Ji miL )mi gL2 X 2J1(m0 m ) m0m|LJ1(m0 mJ m0m1Lm&2 -At*J1(m0 m1) m0m1LmigL(mo mJ2J1(m0 mJ moimiLm1L-2 UJ1(m0 m1) m1m0L&(J1 m2)2 2m1 gL10xJ1(m)m1)m0m1 L2J1(mmJm0m1 L2&001m1Lm1gL(mmJ0&J
8、1(m)m1)m0m1 L2J1(mmJm0m1 L2整理后得到系统状态空间方程:000010 0xJ1 m1L2J1 (m0 mJ mom 丄20m1L2J1 (m0 mJ 呛口丄(18-13)100 0X 0u 0010 05系统的物理参数 代入倒立摆系统的参数。小车的质量：M=1kg 摆杆的质量：m=0.1kg小车的摩擦系数：b=0.1N/( m 1)摆杆转动轴心到杆质心的长度：l=0.5m重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：l=0.003kg m采样频率：0.005s.将上述数据带入(18-10)、(18-11 )、(18-13)(s)0.05s2(18-14)摆杆角度与小车位移之间的
9、传递函数：x(s)0.0282 0.5摆杆角度与小车所受外力之间的传递函数：(S)= u(s)s421.78253s0.099821s319.6078s2x010x00.09893990.88339200000.176678419.434628975系统的空间状态表达式为:(18-15)1.78253 s0 x00 x0.98939929u0(18-15)101.766784452x1000 x0yu001006.经典控制器设计PID控制PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广PID的控制器传递函数为：Gpid(S) KdS KpKisKdS2 KpS
10、 K|SnumpiDderpQ(18-17)close allclear all%设定系统参数M=1;m=0.1;b=0.1;1=0.5;1=0.003;g=9.8;q=(M+m)*(I+m*lA2)-(m*l)A2%输入倒立摆的传递函数num=m*l/q 00;den=l b*(l+m*|A2)/q-(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;%计算并显示系统未校正的极点r,p,k=residue(num,den);disp(the poles are:);P%设定PID参数kp=40;ki=1;kd=10;numPID=kd kp ki; denPID=1 0;% 计算经过 PI
11、D 校正后的闭环传递函数numc=conv(num,denPID); denc=polyadd(conv(den,denPID),conv(num,numPID);%j 计算并显示校正后系统的极点Rc,Pc,Kc=residue(num,denc);disp(the poles are:);Pc%纺真原系统在干扰脉冲下的输出曲线图t=0:0.005:5;yc=impulse(numc,denc,t);plot(t,yc);grid ontitle(mpulse Response);xlabel(Time-sec); ylabel(Amplitude);文件中用到两个多项式之和的函数 polya
12、dd ，他不是 MATLAB 工具因此必须把他考到 polyadd.m 文件中 并把该文件保存到 MATLAB 安装路径下的 work 目录下 , polyadd.m: functionpoly=polyadd(poly1,poly2)if length(poly1)0poly=zeros(1,mz),short+long;elsepoly=long+short;end 运行系统得到闭环极点为 : p =-6.22646.1194-0.09090系统位于 s 平面右半部的极点可见是不稳定的.矫正后闭环极点为 :Pc =-32.3411-3.1918-0.0002-0.0002-0.0002矫正
13、后系统稳定.矫正后的单位脉冲响应如下图ZlIe UlL Jtrt Ih3Li I I，JLi iuJiA Edpl|o GfA 7 / 倉 ).D&- i i i DE.吒 皿OB a a Q a slu=ilLIJr-I参考文献：1孙灵芳，孔辉，刘长国等倒立摆系统及研究现状机床与液压.2008,36(07):306-309.2 罗晶，陈平.一阶倒立摆的PID控制.实验室研究与探索.2005, 24(11) :26A28.3 杨平，徐春梅，贺茂康等.直线二级倒立摆的PID实时控制.上海电力学院学 报.2008,24(03):236-247.4丨吴昊，秦志，朱学峰等.直线柔性连接两级倒立摆控制器设计.控制工程.2003,10(06):497a-499.5丨杨平，徐春梅，王欢等.直线型一级倒立摆状态反馈控制设计及实现.上海电力学院学报，.2007,23(01):
