《2017年湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题一、选择题1复数（是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，对应点.【考点】复数概念及运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数
2、中的运算问题.2已知函数，则（ ）A B C1 D【答案】B【解析】试题分析：时，时，函数周期为，.【考点】分段函数求值.3抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：基本事件种，符合题意的为共四种，故概率为.【考点】古典概型.4设为三角形三边长，若，则三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定【答案】B【解析】试题分析：两边除以得，故为直角三角形.【考点】1.解三角形；2.对数运算.5如图所示，已知椭圆：的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，是椭圆上一点，延长到，若，则（ ）A10 B5
3、 C6 D3【答案】A【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有.【考点】直线与圆锥曲线位置关系.6若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：.【考点】三角恒等变换.7一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A8 B C4 D【答案】B【解析】试题分析：设边长为，则，故侧视图面积为.【考点】三视图.8定义区间的长度为，函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）A B-3 C1 D3【答案】D【解析】试题分析：为增函数，故与有两个交点，化简得，对称轴时，取得最大值，故.【考点】函数导数与不等式.
4、9已知函数，则函数的大致图象为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由于，故函数为非奇非偶函数，排除B，C.令，得，两个函数交点在第三象限，故零点为负数，排除D，选A.【考点】函数图象与性质.10执行如图所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的结果是（ ）A1 B C D【答案】C【解析】试题分析：，循环，循环，退出循环，故选C.【考点】算法与程序框图.11已知非零向量满足，若函数在上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：有两个不相等的实根，故选B【考点】1.向量运算；2.函数导数.【思路点晴】函数在上存在极值，转化过来，意思就是函数的导数在上有两个不相等的
5、实数根，函数求导后得到，利用判别式大于零，即有，两个向量所成的角的取值范围是，在这个区间上，满足的角的取值范围就是.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就可以解决.12若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：函数在单调递增恒成立，即恒成立，所以.【考点】导数与单调区间.【思路点晴】函数在单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到恒成立，即恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.二、填空题13在正方体中，是的中点，且
6、，函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂线的切线（为自然对数的底数），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：依题意，.【考点】1.向量运算；2.切线方程.14已知直线是函数图象的一条对称轴，则直线的倾斜角为 .【答案】【解析】试题分析：，其中，将代入，得，所以，所以直线斜率为，故倾斜角为.【考点】三角函数图象与性质.15设满足不等式，若，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：的最小值即，画出可行域如下图所示，在点取得最小值为，在是取得最大值为，故.【考点】线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形.的最小值即，我们只需求出的最
7、小值，减去的最大值即可.在图象中画出基准的，向下平移到点取得最小值为，而对于，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是，故在是取得最大值为，故.16抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为，代入双曲线得，焦点，故，解得.【考点】圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为和.将代入双曲线的方程，可求得两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，为等边三角形，也就是说，也即，解得.此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题17已知数列的首
8、项，前项和为，且（）.（1）求数列的通项公式；（2）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性.【答案】（1）；（2），单调递增数列.【解析】试题分析：（1）利用，化简得，进行配凑得，这是一个等比数列，故；（2），这类似一个等差数列乘以个等比数列，我们采用分组求和和错位相减法求得，用判断出是单调递增数列.试题解析：（1）由，得两式相减得，可得又由已知，即是一个首项为5，公比的等比数列，.（2），令，则作差得：，即而，作差得：是单调递增数列.【考点】数列.18如图，三棱锥，分别在线段上，均是等边三角形，且平面平面，若，为的中点.（1）当时，求三棱锥的体积；（2）为何值时，平面.
9、【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）平面平面，为的中点，且，所以，平面，即三棱锥的高，由此求得体积为；（2）平面，故，延长交于，则，所以，即，.试题解析：（1）平面平面，为的中点，且，所以，平面，即.（2）平面平面，为的中点，且，平面，故，要使平面，则需，延长交于，则，即，所以时，平面.【考点】立体几何证明垂直与求体积.19国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是）.男生平均每天运动
10、时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.请根据样本估算该校“运动达人”的数量；请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为运动达人与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）；列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是
11、否为运动达人与性别有关.【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽人，女生抽人，故，由此求得男生平均运动事件为小时；（2）计算，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”.试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故，则该校男生平均每天运动时间为：故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（2）样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有人；由表可知：故的观测值故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”【考点】1.频率分布直方图；2.独立性检验.20已知椭圆：的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与
12、椭圆相交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过点且斜率为，与椭圆相交于两点，与以椭圆的右顶点为圆心相交于两点（自上至下排列），为坐标原点，且，求直线和圆的方程.【答案】（1）；（2）与，圆的方程为.【解析】试题分析：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系得，所以.故.所以，所以，解得：.故所求直线的方程为.设圆的半径为，因为，.将代入解得：.圆的方程为.试题解析：（1）设，则由题意得，解得，椭圆的方程为.（2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为，联立椭圆方程得：.设，则，.，解得：.由题意可得：等价于.设圆的半径为，.将代
13、入解得：.故所求直线的方程为，即与；圆的方程为.【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题
14、等.21已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）设，其中为的导函数，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）曲线在点处的切线与轴平行，意思就是曲线在该点的导数为，即，解得；（2）先求得，设，利用导数求得在上的最大值为，即.设，利用导数求得在上是增函数，即，所以.所以.试题解析：（1）由，得，.由已知，得，（2）由（1），得，设，则，令，得.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.故在上的最大值为，即.设，则，在上是增函数，即，.因此，对任意，.【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线在点处的切线与轴平行，意思就是曲线在该点的
