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1、-第19讲同角三角函数的根本关系式与诱导公式考试要求1.同角三角函数的根本关系式：sin2cos21，tan (B级要求)；2.，的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打或)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中奇变偶不变，符号看象限，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(4)假设sin(k)(kZ)，则sin .()解析(1)对于R，sin()sin 都成立.(4)当k为奇数时，sin ，当k为偶数时，sin .答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P
2、23习题11改编)tan2，则的值为_.解析原式3.答案33.(2021苏北四市摸底)sin，则cos _.解析sinsincos，cos .答案4.(2021*调研)sin cos ，则sin cos _.解析sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，sin cos 或.又，sin cos .答案5.(2021泰兴中学检测)3sin 4cos 5，则tan _.解析由3sin 4cos 5，两边平方得9sin224sin cos 16cos225，即9sin224sin cos 16cos225(sin2cos2)，从而16sin224sin cos
3、9cos20.故(4sin3cos )20，所以4sin 3cos ，故tan .答案知 识 梳 理1.同角三角函数的根本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限注：诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限.考点一同角三角函数根本关系式及其应用【例1】 (1)(教材改编)cos ，且2，则tan 的值为_.(2)(2021*模拟)si
4、n cos ，且，则cos sin 的值为_.解析(1)因为为第四象限角，所以tan0，sin 0，sin ，所以tan .(2)，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .答案(1)(2)规律方法(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2
5、，cos21sin2.【训练1】 (1)(2021*调研)假设3sin cos 0，则_.(2)(2021*模拟)是第三象限角，且sin 2cos ，则sin cos _.解析(1)3sin cos 0cos 0tan ，.(2)由sin 2cos 及sin2cos21得：(2cos )2cos215cos2cos 0cos 或cos ，因为是第三象限角，所以cos ，从而sin ，sin cos .答案(1)(2)考点二诱导公式的应用【例2】 (1)(2021*模拟)计算：sin cos _.(2)(2021宿迁模拟)f(*)，则f()_.解析(1)sin sinsin ，cos cosco
6、s ，sin cos 1.(2)f(*)tan2*，ftan2tan21.答案(1)1(2)1规律方法(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边一样的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进展运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)(2021*中学开学考试)角的顶点在坐标原点，始边与*轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，2)，则cos()的值是_.(2)(2021*一模)sin，则sinsin2(*)的值是_.解析(1)由及三角函数定义可得cos
7、 ，由cos()cos 得cos().(2)因为sin，所以sinsin2sinsin2sin1sin21.答案(1)(2)【例3】 (1)(2021泰兴模拟)设tan(5)m，则的值为_；(2)(2021*、*模拟)cos，且，则cos_.解析(1)由tan(5)m，得tan m，.(2)因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin.答案(1)(2)规律方法(1)利用同角三角函数根本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进展变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响，注意常见互余与互补的角：常见的互余的角：与；与；与等.常见的互补的角：与；
8、与等.【训练3】 (1)(2021*调研)cosa(|a|1)，则cossin_.(2)(教材改编)化简：_.解析(1)由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.(2)因为tan(3)tan ，sin()sin ，sincos ，sin(2)sin ，coscossin ，sincos ，cos(2)cos .所以原式1.答案(1)0(2)1一、必做题1.(2021*期末)是第四象限角，sin ，则tan _.解析因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .答案2.tan ，且，则sin _.解析tan 0，且，sin 0，sin2，sin .答案3.(必
9、修4P19例1改编)sin(585)的值为_.解析sin(585)sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.答案4.(教材改编)tan 1，则_.解析原式.答案5.(2021*模拟)tan 3，则的值是_.解析原式2.答案26.(2021如东中学期中)假设sin 2cos ，则sin22cos2的值为_.解析由sin 2cos 得tan 2，因此sin22cos2.答案7.假设f(cos *)cos 3*，则f(sin 30)的值为_.解析因为sin 30sin(9060)cos 60，所以f(sin 30)f(cos 60)cos(360)cos 1
10、801.答案18.(2021*中学质检)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos_.解析a，b(cos ，1)，且ab，1tan cos 0，sin ，cossin .答案9.(1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)求值：设f()(12sin 0)，求f的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)c
11、os(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f()，f.10.(2021*中学期中)tan 是关于*的方程2*2*10的一个实根，且是第三象限角.(1)求的值；(2)求cos sin 的值.解2*2*10，*1，*21，tan 或tan 1，又是第三象限角，所以tan 1.(1).(2)且是第三象限角，sin cos .二、选做题11.函数f(*)asin(*)bcos(*)，且f(4)3，则f(2 019)的值为_.解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos 3.答案312.假设sin ，cos 是方程4*22m*m0的两根，则m的值为_.解析由题意
