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1、直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真摘 要倒立摆系统是非线形、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。在控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题以及跟踪问题等。不仅是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。本文以固高公司直线倒立摆为研究对象，利用Newton法建立直线一级倒立摆的动力学模型。先对系统状态方程进行能控性和能观性分析，之后借助固高科技Matlab实时控制软件实验平台，设计LQR控制器，并利用LQR控制方法对直线一级倒立摆系统进行了Simulink
2、在线实时仿真实验，并对实验结果分析，调节LQR参数，使之达到最佳稳定调节状态，通过在线对系统施加一定的扰动，系统均能在很短的时间里恢复平衡，取得了较好的实时控制效果。关键词： 直线倒立摆；建模；稳定性；LQR；仿真ABSTRACTInverted pendulum system is non-linear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such
3、as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. Its a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies
4、 of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol company linear inverted pendulum, Newtons method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mech
5、anics methods. This thesis adopts Googol company linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol high-tech Matlab real-time control software experimental platform, LQR controller
6、can be designed and LQR control method can conduct online real-time simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on
7、the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good real-time control effects.Keywords： linear inverted pendulum; modeling；stability；LQR；Simulation目 录第一章 绪 论11.1 倒立摆系统概述11.2 倒立摆系统发展及研究现状41.3 本文的主要研究内容与章节安排7第二章 直线倒立摆系统数学模型建立92.1 直线一级倒立摆系统数学模型92.2 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分
8、析152.3 本章小结17第三章 直线倒立摆系统LQR控制器设计与仿真183.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析183.2 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真193.3 本章小结23第四章 直线倒立摆的实物稳定控制344.1 直线一级倒立摆LQR实物稳定控制244.2 本章小结29结论与展望30附 录31参考文献34致 谢34第一章 绪 论 1.1 倒立摆系统概述倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。特点是重心在上、支点在下，正是这个特点使倒立摆是控制理论、机器人技术、计算机控制等多种技术、多个领域的有机结合，可以作为一个典型的控制对象对其进行研
9、究。1.1.1 倒立摆分类倒立摆系统开始为单级直线形式，即仅有的一级摆杆其一端自由，另一端则连接在可以在直线导轨上自由滑动的小车上。在此基础上，人们又进行了拓展，产生了多种类型的倒立摆。典型的有直线倒立摆，平面倒立摆，环形倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，正由于在相同的运动模块上可以配置不同的倒立摆，所以倒立摆的种类丰富许多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：(1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上有摆体组件，直线运动模块具有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同
10、之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。直线倒立摆系列产品如图1-1所示。(2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。如图1-2所示。(3) 平面倒立摆系列 平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY 运动平台，另一类是两自由度SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。如图 1-4所示(4) 复合倒立
11、摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆如图1-3所示，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一种是（2）中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。图1-1 直线倒立摆系列图1-2 环形倒立摆系列图1-3 复合倒立摆系列图1-4 平面倒立摆系列1.1.2 倒立摆特性倒立摆的形式和结构尽管不同，但却都具有相同
12、的特性。(1) 非线性倒立摆虽是一个典型的非线性复杂系统。但实际可以通过线性化得到系统的近似模型，对线性化之后的系统进行控制，也可以不采用线性化处理，利用非线性控制理论直接对其进行控制，由此倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。(2) 不确定性造成不确定性的因素主要是指模型误差、机械传动间隙和各种阻力等。实际控制中必修通过减少各种误差来解决问题，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，或利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。(3) 强耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及摆杆和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可以忽略。(4) 开
13、环不稳定性倒立摆的稳定状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。(5) 约束限制倒立摆系统的约束限制主要是机构限制，如电机力矩限制、运动模块行程限制等。为降低成本和制造方便，倒立摆的结构尺寸及电机功率都尽量要求最小，在这些限制中，其中行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出现小车的撞边现象。倒立摆的以上特性增加了倒立摆的控制难度，也正是由于倒立摆的这些特性，使其更具研究价值和意义。1.1.3 倒立摆控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随
14、机扰动而保持稳定的位置。直线倒立摆控制的目的是：小车和摆杆组成的直线倒立摆系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。1.1.4 倒立摆控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移(即位置)和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以
15、此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力平行于轨道的方向作用于小车，使小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置(竖直向下)。为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下：用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。由于本次实验装置不能自动摆起，需要人工来摆起，于是倒立摆刚开始工作时，需要人工扶持倒一定角度之后倒立摆能够通过电机的调整达到动态平衡。这种被控量既有角度，又有位置，且它们之间又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。1.2 倒立摆系统发展及研究现状倒立摆系统是多种技术、多个学科领域的结合产物，比如很多控制理论在倒立摆系统实验中得到完美的体现；在倒立摆的控制过程中，计算机控制技术发挥着不可磨灭作用；另外随着技术的发展，已将倒立摆系统控制的原理成功的应用于机器人技术的研究中。倒立摆系统本身不稳定、多变量、强耦合、非线性等特点使得被学术界看做是一个典型的控制装置进行研究。在二十世纪五十年代，美国麻省理工学院的控制理论专家就开始了对倒立摆系统的研究、设计了一级倒立摆实验装置，该装置的原理与火箭助推器原理相一致。之后，人们对倒立摆进行了进一步的研究，在最初的一级直线倒立摆的基础上扩展出很多种类的
