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1、-初二数学?三角形、四边形?动点问题分析与讲解所谓“动点问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开场沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为ts1当t为何值时，四边形PQCD为平
2、行四边形.2当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形.3当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形.分析：1四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ2四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE3四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：1四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形2过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-24-t=4解得：t=7s即当t=7s时，四边形PQCD为
3、等腰梯形3由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-24-t=2解得：t=6.5s即当t=6.5s时，四边形PQCD为直角梯形点评：此题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB角平分线CE于E1试说明EO=FO；2当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；3假设AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜测ABC的形状并证明你的结论分析：1根据CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，
4、同理OC=OF，可得EO=FO2利用矩形的判定解答，即有一个角是直角的平行四边形是矩形3利用条件及正方形的性质解答解答：解：1CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF2当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF= ACB+ACG= 180=90，四边形AECF是矩形3ABC是直角三角形四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直
5、角三角形点评：此题主要考察利用平行线的性质“等角对等边证明出结论1，再利用结论1和矩形的判定证明结论2，再对3进展判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动设点Q运动的时间为t秒1求NC，MC的长用t的代数式表示；
6、2当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；3是否存在*一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分.假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；4探究：t为何值时，PMC为等腰三角形分析：1依据题意易知四边形ABNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=：CB，2CB、，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；3可先根据QN平分ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值然后根据得出的t的值，求出MNC的面积，即
7、可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值4由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进展讨论：当MP=MC时，则PC=2NC，据此可求出t的值当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值综上所述可得出符合条件的t的值解答:解：1AQ=3-t=4-3-t=1+t在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= 2由于四边形PCDQ构成平行四边形PC=QD，即4-t=t解得t=23如果射线QN将
8、ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：1+t+1+t= 3+4+5解得：t= 5分而MN= NC= 1+tSMNC= 1+t2= 1+t2当t= 时，SMNC=1+t2= 43不存在*一时刻t，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分4当MP=MC时如图1则有：NP=NC即PC=2NC4-t=21+t解得：t= 当CM=CP时如图2则有：1+t=4-t解得：t= 当PM=PC时如图3则有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= 1+tPN=NC-PC=1+t-4-t=2t-3 1+t2+2t-32=4-t2解得：t1= ，t2=-1舍去当t= ，t= ，t=
9、 时，PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考察平行四边形性质及等腰三角形性质考察学生分类讨论和数形结合的数学思想方法如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿在一样时间，假设BQ=*cm*0，则AP=2*cm，CM=3*cm，DN=*2cm1当*为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边AD或BC的一局部为第三边构成一个三角形；2当*为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；3以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形.如果能，求*的值；
10、如果不能，请说明理由分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边AD或BC的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2*+*2=20cm，BQ+MCBC即*+3*20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDAD即2*+*220cm，BQ+MC=BC即*+3*=20cm所以可以根据这两种情况来求解*的值以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以P，Q，M，N为顶点的四边
11、形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即2*+*220cm，BQ+MCBC即*+3*20cm，AP=ND即2*=*2，BQ=MC即*=3*，*0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解：1当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边AD或BC的一局部为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时，由*2+2*=20，得*1= -1，*2=- -1舍去因为BQ+CM=*+3*=4-120，此时点Q与点M不重合所以*= -1符合题意当点Q与点M重合时，由*+3*=20，得*=5此时DN=*2=2520，不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求*的值为-12由1知，点Q只
12、能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20-*+3*=20-2*+*2，解得*1=0舍去，*2=2当*=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时，由20-*+3*=2*+*2-20，解得*1=-10舍去，*2=4当*=4时四边形NQMP是平行四边形所以当*=2或*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形3过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于2*，所以点E一定在点P的左侧假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2*-*=*2-3*解得*1=0舍去，*2=4由于当*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
13、所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：此题考察到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开场，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开场，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒1当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形.2当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形.分析：1根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；2根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可解答：解：1MD
14、NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；2作DEBC，垂足为E，则CE=21-15=6，当-MD=12时，即2t-15-t=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考察了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点容如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动，设运动时间为ts1设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；2当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.分析：1假设过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t；2此题应分三种情况进展讨论，假设PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；假设BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；假设PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代
