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1、函数及其定义域一、知识与方法1、函数：从一个非空数集到另一个数集的对应关系，自变量具有任意性，应变量具有唯一性 （ 一对一关系或多对一关系）2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则其中定义域、对应法确定，则值域可以确定；只有三个要素完全相同，则表示两个函数相同3、函数在图象上体现出对任意自变量的取值对应函数值的唯一性：垂直于轴的直线若与函数相交，只有一个交点4、函数的几个名称（1）基本初等函数（高中数学课本中出现的）：多项式函数（包括一次、二次函数等）、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等（2）初等函数：由基本初等函数经过一定的运算得到的函数（3）复合函数：由初等函数复合而成的函
2、数，基本方法：分解成简单函数研究（4）抽象函数：函数没有具体的解析式，但满足一定的运算法则5、函数的定义域：表示解析式有意义的自变量的取值范围（1）根据给定的函数解析式求定义域：各个表达式同时有意义（2）求简单复合函数的定义域：同一对应法则下的表达式取值相同（3）求具有实际意义的函数定义域：考虑问题的实际背景函数解析式与函数值一、知识与方法1、已知解析式求函数值：注意自变量的所在区间2、求解析式必须指明自变量的取值范围3、利用函数方程求解析式：换元法、构造方程组4、实际问题求解析式：设变量，列出等式并化简5、抽象函数求解析式：赋值法并将变量集中为一个变量函数的奇偶性一、知识与方法1、奇偶性的必
3、要条件：定义域关于原点对称2、奇偶性的判断：先确定定义域，利用定义法与图象法（1）分段函数的奇偶性要分段证明 （2）抽象函数的奇偶性：赋值法（3）即奇又偶函数解析式为，但函数有无数多个 （4）非奇非偶函数的验证：举反例3、若奇函数在处有定义，则，即必过原点4、偶函数5、奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于轴对称6、奇函数在对称区间上保持单调性不变，偶函数在对称区间上改变单调性7、奇偶性反映函数图象的整体结构函数单调性一、知识与方法1、单调性反映函数图象的局部变化趋势2、单调性的定义的几种表示形式： （1）任取定义域上，判断的符号（定义法）（2）任取定义域上，判断的符号（与两点间的斜率相关
4、）（3）任取定义域上，判断的符号3、单调性的证明：严格按定义证明4、单调区间的确定：区间端点由定义域而定，函数本身在某一点不具备单调性 （1）图象法（2）复合函数的单调性：分解为简单函数的单调性（3）利用定义转化为不等式恒成立5、分段单调的函数不一定是单调函数，其单调区间一般用逗号连接6、分段函数在整个定义域上具有单调性必须考虑分段点的取值大小比较7、单调性的应用 （1）比较大小：必须转化为同一单调区间上才能比较，否则可以直接比较（2）含参数的函数单调性研究：从定义出发转化为不等式恒成立函数的最值与值域一、知识与方法1、二次函数在区间上的值域问题：讨论对称轴与区间的位置关系2、利用换元转化为简
5、单函数的值域问题3、反变量法：转化为的函数4、利用函数的图象分析函数的图像及其变换一、知识与方法1、利用函数的有关性质作出图象：从整体到局部2、函数图象的研究：从整体到局部，可采用赋值法（特殊点）、极限、渐近线、图象的增长速度等3、函数的图象变换（1）与，上下平移变换（2）与，伸缩变换（3）与，对称变换（4）与 关于直线对称（5）与，对折变换函数的图像变换作图步骤：先写出变换流程图，再作出相应的图像 *4、 周期变换 5、（1）一个函数本身的对称性 轴对称变换（对称轴）中心对称（对称中心（2）两个函数之间的对称：与： 两个函数图象关于对称（记）与：两个函数图象关于对称（记）函数的零点一、知识与
6、方法1、方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点2、零点存在性定理： 如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内至少存在一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注意：（1）前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；（2）零点并不一定是唯一的，但一定存在； （3）是函数在区间内有零点的充分条件。3、函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）不能求根的方程，将函数的图象联系起来，利用函数性质找出零点4、函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用：确定零点的个数分段函数一、知识点1、明确自变量在某段区间上的取值所对应的解析式2、分段函数原则上
7、应该分段研究各自的函数性质3、注意分段函数的具体分类标准4、分段函数的建立：以事件发生本质变化为标准（转折点）5、（1）（V字形） ：开口朝上，顶点为 ：开口朝下，顶点为 （2） ：开口朝上，有最小值，在某零点处取到 ：开口朝下，有最大值，在某零点处取到 ：两端与轴平行，有最大与最小值双曲线函数一、知识与方法1、双曲线函数的一般形式： 它是正比例函数与反比例函数的和函数，本质上是旋转后的双曲线2、基本性质 （1）奇函数（研究的性质可以反应整体性质） （2）最值点 （3）单调区间 （4）对称轴 （5）渐近线：与（无限接近，不能相交）3、四种函数图象幂函数一、知识与方法1、形如的函数称为幂函数，其中为常数。2、幂函数的性质: 先分析第一象限图象，再确定整个函数图象（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点（2） 、 单调性、 凹凸性（开口朝向），、 奇偶性（图象整体分布）3、常见的几种幂函数的图象（十一种） 4、指数函数对应的运算法则：或指数函数一、知识与方法1、指数函数（且）：恒过，定义域为，值域为2、性质：（1）减函数；（2）增函数3、注意利用指数换元的变量取值范围4、指数函数对应的运算法则：或
