《从感性到理性、从具体到抽象》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从感性到理性、从具体到抽象（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、从感性到理性、从具体到抽象谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系 .借助有 限与无限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从量变认识质变，从 近似认识精确.在初等微积分的学习中应抓住基本概念，突出内在的联系，贯穿 基本思想方法.具体说来，以数列极限为基础，突出微分、积分及其内在联系.极 限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养，贯穿了微积 分的全部内容.从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看，已开始摆脱具体事物的形 式，进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向 更高级的思维辩证思维形式发展. 其本质
2、问题是对无限的认识，让学生从感 性材料中去感受和体验。提炼和概括，逐步上升到理性认识，感受抽象思维的过 程和辩证思维的体现.新课标倡导数学课程“强调本质，注意适度形式化” .高中数学课程的 讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质，由于极限概念本身牵涉到 “无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语，这些词语都比较抽象 .因此在 极限的概念教学过程中，我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生 更好地理解极限.内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁，尤其在证明不等 式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上，可以使解法简化，并能使 问题的研究更为深入全面.以
3、下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时，更多的是对不等式的研究，从某 种意义上来说，不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中 经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式 来证明，往往需要恒等变形，而运用微积分的知识和方法，如函数单调性、极值判定法，可以简化不等式的证明过程，降低技巧性.例题已知函数f (x) = In土 .1 - x(I) 求曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(II) 求证：当 x g (0,1)时，f (x) 2( x + X-)；(III) 设实数k使得f (x) k(
4、x +丰)对x g (0,1)恒成立，求k的最大值.分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法则，考查导 数的几何意义，导数的正负和函数单调性的关系 .也考查了转化与化归及分类讨 论的思想方法本题背景是将函数f (x) = In土 在x二0附近用多项式近似的问题，1-x题目中涉及到线性近似、3次近似和最佳下界估计的问题题目叙述简洁，设问由 易到难、层次清晰、阶梯合理，为不同水平的考生提供了展示的平台.第(I)问通过学生熟悉的切线方程问题考查导数的运算和导数的几何意义，考 查运算求解能力在这一问中在先求导函数时有两类办法，一是利用对数运算 将已知函数转为两个函数的差再来求导函数
5、，二是利用复合函数的求导公式求导 函数第(II)问中的函数不等式问题考查导数正负与函数单调性的关系，考查转化与 化归的思想方法和分析问题解决问题的能力(II)问在讨论构造的新函数的单 调性上是有三类办法，一是通过整理导数式说明，二是利用二阶导数来说明，三 是利用均值定理来说明第(III)问中的最大值问题在第(II)问的基础上进一步考查转化与化归的思想 方法，考查推理论证的能力.(III)问在新构造函数的导函数的讨论上有两类办法，一是利用第二问的结论分 成两类和，二是利用最高次项的系数分成和：k2;或k0解：(I)因为 f (x) = ln(1+ x) ln(1- x)，所以f，(x) = 1+
6、 ，1+x 1-xf(0) = 2 又因为f (0) = 0，所以曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y = 2 x (II)解法1:令 gQ) H f (X) 12(x + 汁)“ Ml2X4汽(x).T(x) 2(l+x2)H-j 1IX2sg、(x) Vo (0 AXAlv耳左 g(x)w冈-凹(obk*sfiy g(xvg(070 9 * cplT若Mxc(pl)耳2 f (X) V 2(x+sBy4g(x) H f (X) 12(x + ) -g2汽(X) H f-(x) I 2(1+ X2H+ 2(1 X2) I 41IX2+ 2(11x2)2 4 9 0 A
7、r1 X2g汽(X) V 0 0 A X A 1 g(x)vg(0)H0 3 xm(pl).令37r (X) 12(x+山二 淫2gtf) H ftf) 2(1+X2H 2(1+X2) 同辻汽、(XTLrl(1X2)2Vo - 0 AAr(1X2)2晋记汽(x)w冈凹(pl )k*sffiM9 g、(0) ” 晋记其x)vg、(o)Hoj 冈西(pl)晋记力0)力0709 xc(pl).(CM)卑-f (X) V 2(x + 小). SB4g(x72(x +汁).因为广(x) =- 0， g(x) = 2(1+ x2) 0 , x g (0,1).1 - x2所以函数f (x)与函数g(x)在
8、(0,1)上单调递增.又 f(x) - g(x) = x 0，1- x2则 f(x) g 3, x g (0,1).所以f (x)比g(x)在(0,1)上增长得快.又因为 f (0) = g(0) = 0 ,即当 x g (0,1)时，f (x) 2(x + -).(III)由(II)知，当 k W2 时，f (x) k(x + 宁)对x g (0,1)恒成立. 当 k 2 时，令 h(x) = f (x) - k (x + )，则 h(x)=广(x)-k(1+ x2) = kx4-(k-2).1 - x2所以当0 x :;上产时，h(x) 0，因此h(x)在区间(0,：牛-)上单调递减. 当
9、 0 x ：k p 2 日寸，h(x) h(0) = 0，即 f (x) 2时，f (x) k(x +并非对x g (0,1)恒成立.综上可知，k的最大值为2 小结：本题学生常见的错误有:(1) 表述不准确，如 x g (0,1)时，g(x) g(0) = 0.(2) 逻辑推断错误，如：因为 h(0) = 0，所以 h(x) 0，x g (0,1)等价于 hh(x) 0，x g (0,1);f (x) g (x)，x g (0,1)等价于 f (x) g (x)，x g (0,1)；minf (x) g (x)，x g (0,1)等价于 f (x) g(x).min max(3)论证不充分，如
10、因为h(x) 0，xg (0,1)且h(0) = 0，所以h(0) 0.通过本题的学习，提醒教学中需注意的问题：1) 强调对数学本质的认识.要把微积分作为一种重要的思想、方法来学习 .如经历由平均变化率到瞬时 变化率的过程，认识和理解导数的概念，加强对导数几何意义的认识和理解. (2) 强调导数在研究事物变化快慢中的一般性和有效性这是对导数本质认识的一个具体体现，也是优于初等方法的体现.以往的教 学中更多的要求学生会按步骤求极大(小)值，最大(小)值，而忽视了导数作 为一种通法的意义和作用.为了使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义 和作用，尤其是作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和
11、解决客观世界变 化率问题，最优问题的广泛应用，可以通过较丰富的实际问题和优化问题举例， 感受和体验导数在研究事物的变化率、变化快慢以及研究函数基本性质和优化问 题的广泛应用.(3)强调几何直观在导数学习中的作用在教学中要反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何 意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用 .一是加 深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对 于数学学习的意义和作用.练习题1. 证明以下不等式：x2求证：ex 1 + x 和 ex 1 + x +.(x 0)2设 f (x)二ex -1 - x，则 f(x)二ex -
12、1 0, x 0，所以函数 /(x)递增，又 /(0) = 0,所以 f (x) = ex 一 1 -x 0，即 ex 1 + x.x2设y(x) = ex -1 -x-，则yXx)二ex -1 -x，由上面已证得的结果，厶可得y(x) 0 .所以函数y(x)递增，又y(0) = 0，x2贝 y y(x) 0，即 e x 1+x +.22. 已知函数 f (x) =x cos x 一 sin x ， x w 0,(I) 求证:f (x) W 0 ；(II) 若a SinX b对x e (0, n)恒成立，求a的最大值与b的最小值.x2解: (I)由 f (x) = x cos x - sin
13、x 得f (x) = cos x - xsin x - cos x = -x sin x .因为在区间(0,-)上f(x) = -x sin x 0 时，“ sinxa ” 等价于 “ sin x - ax 0 ”；“ sinx b ” 等价于xx“ sin x - bx 0对任意x e (0,-)恒成立.当c 21时，因为对任意x e (0, )， g(x) = cosx-c 0，所以g(x)在区间0,- n上单调递减.从而g(x) g(0) = 0对任意x e (0,-)恒成立.,.n当 0 c g(0) = 0 .进一步，“ g(x) 0对00任意x e (0,-)恒成立”当且仅当g(-) = 1 - -c三0，即0 0对任意x e (0,-)恒成立；当且仅当c 21 n2n时，g(x) 0对任意x e (0,)恒成立.2所以，若a 0.2(I)求f (x)的单调区间和极值;(II)证明：若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1,易
