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1、量子力学例题第二章一求解一位定态薛定谔方程1试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 解 薛定谔方程: 当 , 故有 利用波函数在 处的连续条件由 处连续条件: 由 处连续条件: 给定一个n 值,可解一个 , 为分离能级.2 粒子在一维 势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定谔方程为当 时对束缚态 解为 在 处连续性要求将 代入得 又 相应归一化波函数为: 归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 求束缚态的能级所满足的方程解 束缚态下粒子能量的取值范围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为当 时 薛定谔方程为 令
2、 薛定谔方程为解为由 波函数满足的连续性要求,有 要使 有非零解 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1) (2)(3)(4)(5) 证 (1) (2) (3) 一般地,若算符 是任一标量算符,有 (4) 一般地,若算符 是任一矢量算符,可证明有 (5) =0同理： 。2. 证明哈密顿算符为厄密算符解考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 , 取: 试证明:
3、 也是 和 共同本征函数, 对应本征值 分别为: 。 证 。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数又: 可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明 是 的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值解 即 是 的本征函数。本征值 2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数 描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】 宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数 注意:是否归一化波函数 能量本征值 出现 的几率 , 出现 的几率 能量平均值 另一做法 3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描写的态中式中，式中 是
4、谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；（4） 时能量的可能值相应的概率及平均值 解(1) , 归一化， ， （2） ， ， ； ， ；， ； （3） 时， 所以： 时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。4 设氢原子处于状态 求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解 能量本征值 能量本征态 当n=2 时 本征值为的 ， 出现的几率为100 可能值为 出现的几率分别为： 。 5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态 下,试求下列期望值 (1). ; (2) .
5、解： 三 测不准关系1. 粒子处于状态 式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系 解先归一化 (1) 动量平均值 (2) (3) 附: 常用积分式：（1） （2） （3） 第四章例题1力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和 试分别：1）. 求 和 在态 下的期望值；2）. 给出 和 的物理意义【解】（1）. 设态矢 已归一化 （粒子位置几率密度）（2） （利用 化到坐标表象）又： , 上式 2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 ，（3）. 的本征值为0和1【证】（1）. 厄密算符的定义 为厄密
6、算符(2) 已归一化 （3）. 由 的本征值方程, 又： 即： （本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）【解】 所描述的状态，基态波函数 （1）. 在x表象：（2）. 动量表象： （3）. 能量表象 同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.4.取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出 , , 的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法 ）【解】 , 的共同本征函数为 在 空间 （1）. , 同样 （2） 利用: 利用正交归一条件:
