立体几何知识点【考纲解读】1 、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌 握性质与推论的简单应用2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问 题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线， 掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角5. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定 理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义 及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6. 了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念 .掌握棱柱,棱锥的性 质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上 述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7. 空间平行与垂直关系的论证.8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能 熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9. 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的 常用方法(如：直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂 线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。
知识络构建】【重点知识整合】1．空间几何体的三视图(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角 坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的ox, oy,使zxoy=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平平面；(3) 画对应图形,在已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x 轴,且 长度保持不变；在已知图形中平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y 轴,且长度 变为原来的一半；(4) 擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线).3. 体积与表面积公式:(1) 柱体的体积公式：V二Sh ;锥体的体积公式：V二-Sh ;柱 锥 3台体的体积公式：V牡厶二1 h(S + /SS7 + S');球的体积公式：V二4兀r3棱台3 球 3(2) 球的表面积公式：S = 4n R2球【高频考点突破】考点一 空间几何体与三视图1. 一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度 一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2. 画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴 平行的线段长度不变, 与 y 轴平行的线段长度减半．例 1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ()【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图 还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系．抓住“正侧 一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二 空间几何体的表面积和体积 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式：S = 2n 口+2盯rl = 2n r(r+l)(其中r为底面半径，l为圆柱的 高) ；圆锥的表面积公式：S=n r2+n rl=n r(r+l)(其中r为底面半径，l为母线长);圆台的表面积公式：S=n（r 2+r2+r l+rl）（其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长）；柱体的体积公式：V=Sh（S为底面面积，h为高）；锥体的体积公式：V=gsh（S为底面面积，h为高）；台体的体积公式：V=3（S'+'jSS+S）h（S'、S分别为上、下底面面积，h为高）；球的表面积和体积公式：S=4nR2，V=3nR3（R为球的半径）.例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 （ ）A. 6吕 B. 9込C. 12^3 D. 1&.J3【方法技巧】1. 求三棱锥体积时，可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常 用的方法.2. 与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合 平面图形，不要弄错相关数量.3. 求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体 以易于求解.4. 对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题1. 长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.2. 正方体的内切球其棱长为球的直径.3. 正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4. 正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 : 1.例 3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为 .【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特 殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a, PB=b, PC=c，则4R2 = a2+b2+c2（R为球半径）.可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外 接球去处理．考点四 空间线线、线面位置关系(1) 线面平行的判定定理：a?a , b?a , a〃b?a〃a .(2) 线面平行的性质定理：a〃a , a?0 , a G0 =b?a〃b.(3) 线面垂直的判定定理：m?a , n?a , mGn=P, l丄m, l丄n?l丄a .(4) 线面垂直的性质定理：a丄a , b丄a ?a〃b.例4、如图，在四面体PABC中，PC丄AB, PAIBC，点D, E, F, G分别是棱AP, AC, BC, PB的中点.(1)求证：DE〃平面BCP；(2) 求证：四边形DEFG为矩形；(3) 是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.【方法技巧】1．证明线线平行常用的两种方法：(1)构造平行四边形；(2)构造三角形的中位线．2．证明线面平行常用的两种方法：(1) 转化为线线平行；(2) 转化为面面平行．3．证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直．而证明直线与直线垂直 又需要转化为证明直线与平面垂直.考点五 空间面面位置关系1. 面面垂直的判定定理：a?0 , a丄a ?a丄0 .2．面面垂直的性质定理：a 丄0 , a 00 =l, a?a , a丄l?a丄0 .3. 面面平行的判定定理：a?0 , b?0 , a0b=A, a〃a , b〃a ?a //0 .4. 面面平行的性质定理：a /0 , a 0y =a , 0 n y =b?a〃b.5. 面面平行的证明还有其它方法：?l?a、b?a且aQb=Ac、d^B且cAd=B ballB，a〃c, bld 丿(2)a丄a、a〔B ?alB-例5、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD, AB=AD, ZBAD=60°, E,F 分别是 AP， AD 的中点．求证：⑴直线EF〃平面PCD；⑵平面BEF丄平面PAD.【方法技巧】1．垂直问题的转化方向面面垂直?线面垂直?线线垂直．主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明．具 体如下：(1) 证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何 中的有关定理．(2) 证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的 性质定理．(3 )证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.2．证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内 寻找两相交直线分别平行于另一平面.例6、如图，平面PAC丄平面ABC,^ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E, F, O分 别为 PA, PB, AC 的中点，AC=16, PA=PC=10.⑴设G是OC的中点，证明：FG〃平面BOE；(2)证明：在厶ABO内存在一点M,使FM丄平面BOE.【方法技巧】1．用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了．把几何 问题代数化．尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷．但是 向量法要求计算必须准确无误．2．利用向量法的关键是正确求平面的法向量．赋值时注意其灵活性．注意 (0,0,0) 不能作为法向量.考点七 利用空间向量求角1．向量法求异面直线所成的角：若异面直线a, b的方向向量分别为a, b,异面直线所成的角为0,则cos0=lcos〈a, b〉_lallbl.2．向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n,直线的方向向量a,设线面所成的角为0,则sin0=lcos〈n, a〉ln・alInllal*3．向量法求二面角：求出二面角a — l—p的两个半平面a与p的法向量n1, n2，若二面角a~l~p所成的 角 0 为锐角,cos0= lcos〈“], nJ l =ln「nJ ln1lln2l,—ln^ n2lln1llnJl*若二面角a — l—p所成的角0为钝角,贝U cos0= — lcos〈〃], nJ〉l =例7、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°.⑴ 求证：BD丄平面PAC；⑵若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值；(3) 当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.考点八 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通 过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是 否有解,是否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一 方法．例8、如图，在三棱锥P—ABC中，AB=AC, D为BC的中点，P0丄平面ABC,垂足0 落段AD 上.已知 BC=8, P0=4, A0=3, 0D=2.(1)证明：APIBC；(2)段AP上是否存在点M,使得二面角A—MC—B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在,请说明理由．【难点探究】难点一 空间几何体的表面积和体积例 1、(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A. 48 B. 32 + 8冷!7C. 48 + 8\；I7 D. 80-3C2f<—- >正寿图侧视图俯视图(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )B. 9n+18D. 36n+189A. 2n+12C. 9n+42难点二 球与多面体例2、已知球的直径SC=4, A, B是该球球面上的两点，AB=.J3ZASC=ZBSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( )A. W3 B. 2\j3 C.百 D. 1解题规律与技巧】［历届高考真题】【2012 年高考试题】。