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1、人教版B数学选修2-1电子题库 3.2.4知能演练轻松闯关如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A相等B互补C相等或互补 D不能确定解析：选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补，故选C.已知ABC和BCD均为边长为a的等边三角形，且ADa，则二面角ABCD的大小为()A30 B45C60 D90解析：选C.取BC中点E，连接EA，ED，易知AED即为所求，又EAEDa，ADa，AED60.已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为_解析：设二面角的平面角为，cosm，n，45或135.答案：4
2、5或135在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角AB1CA1的平面角的正切值为_解析：设A1D，B1C的中点分别为E，F，可知AFE是所求二面角的平面角在RtAEF中，tanAFE.答案：A级基础达标(2012开封高二检测)正四面体相邻两个面所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.如图所示PABC为正四面体取AB中点D，连PD，CD.PDAB，CDAB，PDC为二面角的平面角在PCD中求解，设PC1，PDCD，由余弦定理得cosPDC，故选A.如图，二面角l的平面角为120，A、Bl，AC，BD，ACl，BDl，若ABACBD1，则CD()A. B.C2 D.解析：选C.，11
3、12，3211cos604，|2.故选C.等腰直角三角形ABC中，ABBC1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120解析：选C.如图，由ABBC1，ABC90，得AC.因为M为AC中点，所以MCAM，且CMBM，AMBM.CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA.CMA90，故选C.已知二面角-l-的平面角是60，直线a，则直线a与平面所成角的大小为_答案：30ABC是正三角形，P是ABC所在平面外一点，PAPBPC，若SPABSABC，则二面角PABC的大小为_解析：设二面角PABC的大小为，PAPBPC，P
4、在面ABC上的射影O为ABC的中心，SOABSABC，又SPABSABC.cos.60.答案：60若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故(0，0，1)，(，1，0)，(，0，0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则，令x1，则y，故m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则z1，故n(0，1，1)，cosm，n.结合图形知二面角APBC的余弦值为.B级能力提升把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC，若AB1，
5、AD，AC，则平面ABD与平面BCD的夹角为()A30 B60C120 D90解析：选B.如图，过A作AEBD，过C作CFBD.又AC，|2|2|22，|，|1，cos，平面ABD与平面BCD的夹角为60，故选B.在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为()A B.C. D.解析：选B.如图建系，设正方体棱长为1，则D(0，0，0)、A1(1，0，1)、E(1，1，)(1，0，1)，(1，1，)设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)则.令x1，则z1，y，n(1，1)又平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)cosn，.平面A1ED与平面ABCD
6、的夹角的余弦值为.正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系设BC1，则A，B，D.所以，.设平面ABD的法向量n(x，y，z), 则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，由于为平面BCD的法向量，所以cosn，sinn，.答案：(2011高考辽宁卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(
7、0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，(1，0，0)，(1，2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1，1，1)，所以cosm，n.结合图形知二面角QBPC的余弦值为.(创新题)如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，ADDC，ABDC，ABADDE4，CD8.(1)证明：BD平面BCF；(2)设二面角EB
8、CF的平面角为，求cos的值；(3)M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(4，4，0)，C(0，8，0)，E(0，0，4)，F(0，8，4)，(4，4，0)(4，4，0)16160，(4，4，0)(0，0，4)0，BDBC，BDCF，且BC与CF相交于C，BD平面BCF.(2)BD平面BCF，是平面BCF的一个法向量n1(4，4，0)，设n2(x，y，z)是平面BCE的一个法向量，则取n2(1，1，2)，则cos.(3)M(2，0，0)，设P(0，0，a)(0a4)，P为DE上一点，则(2，0，a)，MP平面BCE，n2n2(2，0，a)(1，1，2)22a0a1.当DP1时，MP平面BCE.6
