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1、基础巩固强化一、选择题1(文)(2013湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A. B1C. D.答案D解析由棱长为1的正方体的俯视图及侧视图的面积可知正方体的一条侧棱正对正前方，其三视图如下：故正视图是长为，宽为1的矩形，其面积为，选D.(理)(2012北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()A1B.C. D.答案D解析如图1所示是棱长为1的正方体当投影线与平面A1BC1垂直时，平面ACD1平面A1BC1，此时正方体的正投影为一个正六边形，如图2，设其边长为a，则在ABC中
2、，ABBCa，ABC120，a，a，投影面的面积为6()2，此时投影面积最大，故选D.2(文)(2013云南玉溪一中月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，则其表面积是()A8 B12C4(1) D4答案B解析由题意知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面面积为224，侧面积为4(22)8，所以表面积为4812.(理)(2013石嘴山市调研)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A4B6C8D12答案A解析由三视图可知，此几何体为高是2，底面为直角梯形的四棱锥，且直角梯形上、下底的长分别为2、4，高为2，故这
3、个几何体的体积为V(24)224，故选A.3若圆锥轴截面的顶角满足，则其侧面展开图中心角满足()A. B.C. D答案D解析，sin，又sin，其侧面展开图中心角2(，)4如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()A.a3 B.a3C.a3 D2a3答案A解析由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故高ha，体积Va3.5(文)侧棱长为4，底面边长为的正三棱柱的各顶点均
4、在同一个球面上，则该球的表面积为()A76 B68C20 D9答案C解析设球心为O，如图，球半径R，S球4R220.(理)(2013安徽六校教研会联考)四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面截得的线段长为2，则该球的表面积为()A9 B3C2 D12答案D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得的，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD的对角线AC的长为2，可得a2，在PAC中，PC2，球的半径R，S表4R24()212.6(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧
5、面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是()A96 B48C24 D16答案B解析已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a2R，又R3，R2，a4，于是Va22R48.(理)如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为()A. B.C. D.答案C解析根据题意折叠后的三棱锥PDCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构造正方体，则此正方体的棱长为，故正方体的体对角线的长为，且正方体的外接球
6、也为此正四面体的外接球，外接球的半径为，V球r33，选C.二、填空题7若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_cm3.答案11224解析由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，故棱台的斜高h.上面正四棱柱底面边长为4，高为2，则表面积为S444(42)884(48)11224(cm3)8.如图所示，在ABC中，C90，A30，BC1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析阴影部分绕AC旋转一周所
7、得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V12，球体积V13，故所求体积为.9侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为_答案6解析沿侧棱VA剪开，侧面展开如图，线段AA1的长为所求AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VDAA1，AVD60，AA12AD6.三、解答题10(文)(2012新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比分析(1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个
8、平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分BADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比解析(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得，V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体
9、积的比为11.点评本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积(理)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求证：AB平面PCD；(2)求证：BC平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积证明(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC1又AB2，BE1，在RtBEC中，ABC45，CEBE1，C
10、B，ADCE1，则AC，AC2BC2AB2，BCAC.又PA平面ABCD，PABC，又PAACA，BC平面PAC.(3)M是PC中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半VMACDSACD(PA)(11).能力拓展提升一、选择题11(2013河北教学质量监测)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为()A3 B.C2 D2答案D解析设正六棱柱的高为h，则可得()232，解得h2.12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.动点E、F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，则三
11、棱锥PEFQ的体积()A与x、y都有关B与x、y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关答案C解析设P到平面EFQ的距离为h，则VPEFQSEFQh，由于Q为CD的中点，点Q到直线EF的距离为定值，又EF1，SEFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.13(2013天津新华中学月考)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是()A24 B12C8 D4答案B解析由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面为直角三角形，两直角边分别为2，所以三棱柱的底面积为2，所以三棱柱的体积为4
12、6.即该几何体的体积为2612.故选B.二、填空题14(2013山西诊断)已知三棱锥PABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，则三棱锥与球的体积之比为_答案解析如图，依题意，AB2R，又，ACB90，因此ACR，BCR，VPABCPOSABCR(RR)R3.而V球R3，因此VPABCV球R3R38.15(文)(2013杭州二模)已知正三棱柱ABCABC的正视图和侧视图如图所示设ABC，ABC的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为_答案8解析据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所
13、示据所给的数据知，底面正三角形的高是，底面边长是2.将三棱柱绕OO旋转时，俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变(长度为4)，另一组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，S的最大值为428.(理)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，则CPPA1的最小值为_答案5解析PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得，
