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1、word以对数为例探讨数学史在中学数学教学中的作用冉立娟 长江师X学院 数学与计算机学院 某某 某某 408000摘要：对数产生于17世纪中叶，对数的发明是计算技术的一次重大的进步。本文首先对对数的开展历程进展了简要的概述，主要从对数思想的萌芽，纳皮尔与比尔吉引入对数的方法， 对数的进一步完善这几个方面来概述对数的开展历程的。接着分析中学教材中的对数知识与学生的学习状况，以对数知识为例分析了数学史知识对于中学教育的重要作用。本文旨在通过对数的例子，说明数学史融入中学教学能更好的促进教学，能使学生更好的学习数学知识。关键词: 对数 ；纳皮尔；数学史；中学数学教学对数的发明是计算技术的一次重大的进
2、步。16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。特别是以准确测量为根底的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算，人们由衷地希望能简化计算。而对数的发明，给他们带来了希望，它的出现让那些需要计算的学者尤其是天文学家欣喜如狂，拉普拉斯曾经赞誉说：“对数的发明一节省劳力而延长了天文学家的寿命。伽利略甚至说：“给我空间时间和对数，我即可创造一个宇宙。这些都足以见得，对数的发明是多么的伟大啊！1对数的开展历程对数的根本思想可以追溯到古希腊时代。早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1，10，10
3、2，103，104，105，；0，1，2，3，4，5，他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是施蒂费尔。他在其著作整数算术中讨论了几何级数与其整数之间的关系，指出：几何数列1，r, r2,r3,的各项与其指数数列0，1，2，3，的各项相互对应，几何数列中两项相商所得的项，其项的指数等于对应的指数数列中两项的和差。他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。由于当时指数概念尚
4、未完善，分数指数还没有认识，面对像1763，102533等情况就感到束手无策了。在这种情况下，施蒂费尔无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。因此，最终并没有提出对数的概念，但他的发现为对数的产生奠定了根底。【2】15、16世纪，天文学得到了较快的开展。为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进展乘、除、乘方和开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了。纳皮尔研究对数的最初目的，就是
5、为了解决平面和简化天文问题的球面三角的计算。1614年，他在题为奇妙的对数定理说明书一书中，阐述了他的对数方法。虽然施蒂费尔已经提出了级数的思想，但纳皮尔并没有从离散级数的比拟出发，而是借助于运动概念与连续的几何量的结合来引人对数。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此根底上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。他的思想方法是：如图1，假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿着一无限长直线AZ运动
6、。两个质点开始运动时的初速度一样，Q的速度保持不变，而P的速度如此以如下方式变化：在其路径上任意一点B的速度与该点到终点的距离即BZ成比照，设比例系数为1.如果当P点位于B是，Q点位于B，如此将AB称为BZ的对数。QPZBAZAB 图1抛开纳皮尔繁琐发描述，我们借助于微积分的方法来介绍纳皮尔这一精湛的数学思想。令AZ=a,BZ=y, AB给出，这里的t为时间。由定义有，解之可得-lny=c+t.但在A点有t=0，y=a,所以c=-lna.此外，因为Q沿着AZ做匀速运动，即,所以x=at.因此，上述关系变为：,或.纳皮尔称x为y的对数，这实际上是以为底的对数。但纳皮尔并没有“底的概念，这是因为当
7、时，还没有完善的指数概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数。对数的概念的建立先于指数，这也是数学开展过程中的一个趣闻。与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有瑞士人比尔吉J.Burgi,1552-1632。比尔吉是瑞士的一位工程师，他曾担任著名天文学家开普勒的助手，因此经常接触复杂的天文计算，于是产生了化简数值计算的强烈愿望。他受施蒂费尔工作的影响，考虑等差数列0，10，20，10n，和与之对应的等比数列由此建立了一种对数体系，于1620年发表在等差数列和等比数列表中。不难看出，比尔吉所造的对数表，把对数的底取为，与现在自然对数的底e相差甚小。比尔吉发明对数的时间大
8、约在1610年，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下才把算术和几何级数表发表出来了。而纳皮尔的对数表在1614年公诸于世，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了，早比尔吉6年。纳皮尔和比尔吉引入对数的方法纳皮尔和比尔吉两人都致力于对数的研究，只不过纳皮尔用的是几何方法，比尔吉用的是代数法。纳皮尔并没有根据施蒂费尔已经提出了级数的思想去进展对数的引用，也并没有从离散级数的比拟出发，而是借助于运动概念与连续的几何量的结合，用几何的方法来引入的对数。然而，比尔吉却是受施蒂费尔工作的影响，考虑等差数列，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法，运用的是代数的方法来
9、引入对数的。这是两人在引入对数的方法最本质的差异。虽然他们引入对数的方法不同，但都是对数的伟大发明者，对我们的数学开展都作出了重要的贡献。1.3 对数的进一步完善 纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改良，使1的对数为0，10的对数为1等等，这样计算起来更简便，也将更为有用。次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改良，就产生了使用至今的常用对数。1617年，布里格斯发表了第一X常用对数表。1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺。当时，人们并没有把对数定义为幂指数，直到17世纪末才有人认识到对数可以这样来定义。17
10、42年，威廉斯把对数定义为指数并进展系统表示。现在人们定义对数时，都借助于指数，并由指数的运算法如此推导出对数运算法如此。可在数学开展史上，对数的发现却早于指数，这是数学史上的珍闻。解析几何与微积分出现以后，人们在研究曲线下的面积时，发现了面积与对数的联系。比如，圣文森特的格雷果里在研究双曲线xy1下的面积时，发现面积函数很像一个对数，后来他的学生沙某某第一个把面积解释为对数。但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间确实切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数。后来牛顿也研究过此类问题。欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足的指数y，并对指数函数和对数
11、函数作了深入研究。而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解。2数学史与数学史教育数学史主要研究数学学科的发生、开展与其规律，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、开展过程，而且还探究影响这种过程的各种因素，以与历史上数学科学的开展对人类文明所带来的影响。数学史是一门与社会政治、经济和一般文化相联系的学科，它是数学学科体系中重要的一个组成局部。古人云：“以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以知得失。然而，以史为镜，可以明事理。因此，数学史的教育价值也就不言而喻了。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造
12、一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。只有懂得历史，才能深刻理解数学。近几年来，我国数学教育改革强调数学的文化价值，致使数学史知识得到广泛的关注。普通高中数学课程标准明确提出要使学生“初步了解数学产生与开展的过程，体会数学对人类文明开展的作用，而把“数学史选讲作为一门选修课加以开设，大力推动数学史和数学教学的融合。在课堂上适当渗透一些数的开展历史，能使数学活起来。另一方面，适当学一些数学史能使学生学得更富有趣味性和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们学习数学的兴趣。数学史教
13、育是中学数学教学中不可缺少的组成局部。尤其在全面推进素质教育，实施课程改革的今天，对开展学生综合素质提出了更高的要求，数学史的教育功能如此更加显现。教育部2003年颁布的普通高中数学课程标准实验中也指出：高中数学课程提倡表现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化的学习要求，设立“数学史选讲等专题。由此可见，数学史教育对于中学数学教育的重要性。但是由于长期应试教育的影响，很多教师重数学知识的传授，而无视了它在开展高中学生综合素质方面的作用，影响了中学数学教学质量的提高。3以对数知识为例探讨数学史在中学数学教育中的作用对数知识也是中学知识中非常重要的知识点，在高考中也占了一定的比例。在中
14、学课本中，主要学习和探讨了对数的概念，对数的根本性质，对数函数的定义以与图像的特征。这些对数的知识，都是在纳皮尔与比尔吉引入的对数的根底之上，经过后人不断的改良完善而得到的。比如说：纳皮尔当时在发明对数的时候，那时并没有明确的指数概念，也没有指数符号。本来指数相关的概念应该在对数概念之前建立，然而却没有，因此对数的发明当时也是数学开展过程中的一个趣闻。后来，欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足的指数y，并对指数函数和对数函数作了深入研究。现在，中学的教材中，就修改了这一点，先讲解了指数的相关定义与其性质以后才开始讨论对数的相关知识。然而，我们发现现在学生在
15、学习对数这一节知识时，只是机械的知道了对数的概念，运算法如此，通过进展大量的练习，学会了对数的简单运算。但是，学生永远都不知道学习对数的目的是什么？它能解决哪些问题，更别说对数式与指数式之间的关系。也就是说，学生只知道运算，别的一无所知。我们只是把学生教成了能进展对数运算的计算器。其实，学生并没有真正的学好对数一节的知识。在平时的教学活动中适当渗透一些数学史的内容，往往能起到事半功倍的效果。下面以对数这一节的知识为例，探讨在中学教学中渗透数学史的知识的作用。3.2.1激发学生对数学的热爱，更激发学生的求知欲和创造欲案例一：课时的引入阶段教师主要应该谈的是对数是怎样产生的，这时候教师可以以对数的开展引入新课。在讲对数概念时，简单介绍一下对数的发明者苏格兰数学家纳皮尔编制对数表的历程，即：今天，我们用电子计算机可以很容易求对数，但是在以前是通过对数表来查的。对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔，公元 1594 年，纳皮尔开始精心编制可供实用的对数表，公元1614年，纳皮尔发表了关于奇妙的对数法如此的说明一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规如此和实例。纳皮尔为了发明对数，用了20年的计算，最终换来了人世间无数寿命的延续！后经人们不断改良完善，形成了我们今天学习的对数知识。在历史上大概没有比“对数的发现，更能使人意识到数学发现的意义和对人类文明的贡献。
