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1、数学基础知识与典型例题第三章数列例 1.已知数列an 的前 n 项和为 Sn2n 2n ,求1.数列 a n 的前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系：S1(n 1)例 2. 已知 a13且 anSn 1 2n ，求 an 及 Sn an(n 2)Sn Sn 1例 3.已知 a11 ， Snn 2 an(n 1) 求 an 及 Sn 数列例 4.求和 1111.21231231n2. 数列求和的常用方法：公定义递推公式通项公式中项前 n项和等差数列与重要等性质比数列等差数列an 1and ( d 为常数 , n 2 )anan 1d ( anam(nm)d )ana1(n1)dAankan
2、k2（ n, kN * , nk0 ）Snn (a1an )2nan(n1) d12dn 2a1dn22 等和性 : amana paq( m, n, p, qN * , mnpq ) an am (n m)d从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： a1, a4 , a7 , a10 , （下标成等差等比数列an 1q(q 0, 且为常数 , n 2)ananan 1q ( an amqn m )ana1qn 1 （ a1 , q 0 ）Gan kan k ( an k an k0)（ n, k N * , n k 0 ）na1( q 1)S n a 1 1 qna 1anq
3、1 q1( q 1)q 等积性 : am an a p aq(m, n, p, qN * , mnpq) an am qn m从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： a1, a4 ,a7 , a10,（下标成等差式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。例 5.数列 111111)+1的前 n,3,5,7, ,(2n2n24816项之和为 Sn，则 Sn等于()2 12n+1 1(A) n +12n(B)2n2 n2121(C)n +12n1(D)n n+12 n例 6.求和 :S 1 2x 3x24x3nxn 1 .数列）数列）证 明证明一个数列为
4、等差数列的方证明一个数列为等比数列的方法：方法法：1.定义法an 1q(常数 )1.定义法an 1and (常数 )an2.中项法an 1an 12an (n2)2.中项法2设 元an 1 an 1 （ an）(n 2)三数等差：ad , a, a d三数等比： a , a, aq或 a, aq, aq 2技巧四数等差： a 3d,ad, a d, a3dq四数等比： a, aq, aq2 , aq3联系真数等比，对数等差 ;指数等差，幂值等比。重点把握通项公式和前n 项和公式 ,对于性质主要是理解 (也就是说自己能推导出来 ),具体运用时就能灵活自如 .特别是推导过程中运用的方法 ,是我们研
5、究其他数列的一种尝试 .如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验 .又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧 .注:等差、等比数列的证明须用定义证明 ;数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练地进行计算，等 是高考命题重点考查的内容 .解答有关数列问题时， 经常要运用各种数学思想 .差 善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.函数思想：等数差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n 的函数，所以等差等比数列
6、的列某些问题可以化为函数问题求解 .与 分 类 讨 论思 想 ： 用 等 比 数 列 求 和公 式应 分 为 Sn a1 (1n等q ) (q 1) 及比1qSn na1 (q 1) ；已知 Sn 求 an 时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题数时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.在解答有列关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错 .例 7.等差数列 a n 中，已知 a11 ， a611 ，
7、 a n =33，则 n 为（）33(A)48(B)49(C)50(D)51例 8.在等比数列an中 , a7 12,q3 2 ,则 a19_.例 9.23 和 23的等比中项为 ()( A)1(B) 1(C )1(D)2例 10.在等比数列 an 中， a22， a554 ，求 a8 ，等差数例 11.在等比数列 an 中, a1 和 a10 是方程 2x25x10 的两个根 ,列则 a4a7 ()与5211等( B)(C)( A)2(D )比222数例 12.已知等差数列an满足a1a2a3a101则有列0,()( A) a1a1010(B)a2a1000(C ) a3a990( D )a
8、51 51例 13.已知数列an 的前n 项和Sn3n 22n ，求证 :数列 an 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。例 14. 一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项之比为32： 27，求公差 .例 15. 在等比数列 an ，已知 a15 ， a9a10100 ，求 a18 .等例 16.设数列 an 为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S7=7， S15=75,差 Tn 为数列 Sn 的前 n 项和，求 Tn.数n列与等比数例 17.三数成等比数列， 若将第三个数减去 32，则成等差数列， 若再将这等差数列列的第二个数减去4，则
9、又成等比数列，求原来三个数 .例 18. 在 5 和 81 之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和 .例 19. 设 an是等差数列，bn1an ，已知12 321，b1 2 31 ，求等差数( )b +b +b =8b b =82列的通项 an.例 20. 已知等差数列 an中，39，公差，则使前n项和n 取最大值的|a |=|a |d0S正整数 n 是()(A)4 或 5(B)5 或 6(C)6 或 7(D)8 或 9数学基础知识与典型例题(第三章数列 )答案例 1. 当 n1时， a1S1 1,当 n 2 时， an2n 2n 2(n 1) 2(n 1) 4n 3 ,经检验n时a1也适合 an4n3 , an4n3 (n N)11例 2. 解： anSnSn 1 , Sn2Sn 12n , SnSn 11Sn2n2n 1S1a1设 bn则 bn是公差为 1的等差数列 , bnb1n 1又 b13
