《曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章曲线积分与曲面积分参考答案1、选择题1.曲线积分数，且f(0)2.3.4.5.6.7.8.9.第十章曲线积分与曲面积分答案Lf(x)exsinydxf(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导0,则f(x)A1,A.(e2xxe)B.1(ex2xe)C.-(exe2D.0闭曲线C为xA.02闭曲线C为4xA.2为YOZ平面上A.0A.2a2设为球面A.4B.2yB.1的正向，则ydxxdyyB.2C.4D.6B.1的正向，则？Cydxxdy4x2一，2则？(xCB.设L是从O(0,0)到B(1,1)A.B.设I=I=DA.L.yds5.56其中C.0则(x21c.一4y2)
2、ds1,则曲面积分C.C.D.z2)dsD1D.2D.dS1、x2y2z2的值为BD.的直线段，则曲线积分ydsC.2C.2.2D.2L是抛物线5.5B.12yx2上点(551C.60,0)与点(1,1)之间的一段弧,551D.12如果简单I曲线lA1A.xdx2l所围区域的面积为，那么ydy；B.第十章曲线积分与曲面积分参考答案2 -C.1.oydxxdy;D.ydx。、一 _22210.设 S: x y zA. xds 4 xdsSS1C. zds 4 zdsSS1R2(z0),S1为S在第一卦限中部分，则有B.yds4ydsSS1D.xyzds4xyzdsSS1、填空题1.设 L 是以(
3、0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,2- L ydx (ey x)dy -21)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分2222,2.S为球面x2yz2a2的外侧，则(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy0s3 .0y=2x2y21x2y22234 .曲线积分？(xy)ds,其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2a5 .设E为上半球面 zx2 y2 z 0 ,则曲面积分222x y z ds = 32 %226 .设曲线C为圆周x y221,则曲线积分?C x y 3x ds(x y)ds 1+ . 2C7.设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶
4、点的三角形边界，则曲线积分8 .设为上半球面zJ4x2y7,则曲面积分,ds的值为8。222Q1-xyz39.光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影区域为D,则曲面z=f(x,y)的面积是_S.1(z)2(z)2ddxy三、计算题1.ex 1 y ds ,其中L为圆周x2L2y 1,直线y x及x轴在第一象限所围图形的边界。解：记线段OA方程yx,0 x2x cos,圆弧AB方程,02y sin线段OB方程y0,0则原式=e，xFds +OA2一_ds +ey ds = 2 e &dx +0OB4 ed01exdx0=2(e1)2.Lx2y2dxyxyln(xPdy,其中L为曲线ysin
5、x,0与直线0,0x所围闭区域D的正向边界。解：利用格林公式,yxyln(x,x2),则故原式=(Dp、，)dxdyyy2dxdysinx2dxydy003.sinxdx03.y2dxx2dy,其中LL为圆周R2的上半部分,L的方向为逆时针。Rcost,t从0变化到Rsint故原式=qR2sin21(Rsint)R2cos2t(Rcost)dt=R30(1cos21)(sint)(1sin2t)costdt=4R34.求抛物面22、zxy被平面z1所割下的有界部分的面积。解：曲面的方程为zx2y2,(x,y)D,这里D为在XOY平面的投影区域(x,y)x2y21。故所求面积=i25、51.14
6、rrdr065、计算(exsinyLmy)dx(excosym)dy,其中L为圆(xa)2y22_.a2(a0)的上半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。解：添加从原点到点P (ex sin y my), Q ex cosy m ,P excosy m,工yxxe cos yA的直线段后，闭曲线所围区域记为D,利用格林公式(ex sin yLmy)dx(excosym)dy+(exsinymy)dx(excosym)dyOA=mdxdy2a0dx 0 0,于是便有0D，xx而(esinymy)dx(ecosym)dy=OA(exsinyLxmy)dx(ecosym)dy=6.(y2z2
7、)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,其中L为球面x2y2z21在第L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程x0ycost,t从一变化到0。2zsint于是(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz=sin2t(sint)coS?t(cost)dt=-AB23由对称性即得222222222222(yz)dx(zx)dy(xy)dz3(yz)dx(zx)dy(xy)dz4LAB#7.(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy,其中为平面xyz1,x0,y0,z0所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XOY平面内的部分，
8、2为该表面在YOZ平面内的部分，3为该表面在XOZ平面内的部分,4为该表面在平面x y z 1内的部分。i的方程为z 0,0y 1 x,0 x 1,根据定向，我们有(x 1)dydz (y 1)dzdx (z1同理， (x 1)dydz (y 1)dzdx 2(x 1)dydz (y 1)dzdx34的方程为z 1 x y,0 y 1(z 1)dxdy (2 x40 x 10 y 1 x由对称性可得(x 1)dydz (y 1441)dxdy = (z 1)dxdy = dxdy10 x 10 y 1 x1(z 1)dxdy-1(z 1)dxdy-x,0 x 1,故、一 2y) dxdy -5
9、-2)dzdx 一，3故(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy24，11#ex y)dxdy,其中于是所求积分为2131228 .计算曲面积分：(xyz)dydz2ysin(zx)dzdx(3zSS为曲面xyz1的外侧。解：利用高斯公式，所求积分等于(1lu Iv w 1八J123)dxdydz=60g%=89 .计算I=xydydzyzdzdxxzdxdy,其中S为x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围立s体的表面外侧解：设V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体由Gass公式得：I=(xyz)dxdydzV1.1x.1xy=0dx0dy0(xyz)dz=-#832
10、.210.计算I=xdx3zydyxydz,其中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB解：直线段AB的方程是-；化为参数方程得:321x=3t,y=2t,z=t,t从1变至ij0,所以：32.2.I=xdx3zydyxydz03220.3.87=(3t)333t(2t)22(3t)22tdt=87t3dt#11411 .计算曲线积分I=amo(exsiny2y)dx(excosy2)dy,其中AMO是由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2y2ax解：在x轴上连接点O(0,0),A(a,0)将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA在线段OA,/xx(esiny2y)dx(eco
11、sy2)dyOA从而AMOAMOOAAMOA又由Green公式得：AMOA(exsiny2y)dx (ex cosy 2)dy2dxdy22x y axa212 .计算曲线积分Lz3dxx3dyy3dz其中L是z=2(x2y2)与z=3x2y2的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程：x=cost,y=sint,z=2t:02于是：z3dxx3dyy3dz=28sintdt2cos4tdt=-L004另证：由斯托克斯公式得Lz3dx x3dy y3dz= (3y2220)dydz(3z0)dxdz(3x0)dxdy? z3dx x3dy y3dz:z2,x2y21上侧，则:cos
12、2 dr23xdxdyx2y2113 .设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy(x,y)0y1x,0x11,dS=J3dxdy=dx0SDxyx1.3%3dy=”3(1x)dx14.计算曲线积分(xy)dx(xL22xyy)dy其中L是沿着圆(x1)2(y1)21从点A(0,1)到点B(2,1)的上半单位圆弧解：设P(x,y)xy22xyQ(x,y)xy22xy当x2y20时，y2y(x22x2xy2、2y)故:所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关则:(xy)dx(xy)dy(xy)dx(xy)dyAB15.关。解:20(-)dx11=-ln5-arctan22确定的值，使曲线积分x2C4xydx6x1y22ydy在XoY平面上与路径无当起点为0,0,终点为3,1时，求此曲线积分的值。由已知，P2x4xy,Q6x12y2y；由条件得4xy3,3,1
