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1、 第三章导数及其应用第1讲导数的概念及计算考纲展示命题探究1导数的有关概念(1)导数：如果当x0时，有极限，就说函数yf(x)在xx0处可导，并把这个极限叫做f(x)在xx0处的导数(或瞬时变化率)记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数记作f(x)或y.注意点如果函数f(x)在xx0处可导，那么函数yf(x)在xx0处连续. 2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)
2、处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3几种常见函数的导数原函数导数yC(C为常数)y0yxn(nQ*)ynxn1ysinxycosxycosxysinx续表原函数导数yexyexyln xyyax(a0，且a1)yaxln_aylogax(a0，且a1)y4导数的四则运算法则若yf(x)，yg(x)的导数存在，则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)注意点“过某点”和“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的
3、区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点. 1思维辨析(1)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)若f(x)f(a)x2ln x(a0)，则f(x)2xf(a).()答案(1)(2)(3)(4)2(1)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2 BeC. Dln 2(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知l
4、n x012，所以ln x01，因此x0e.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy10答案C解析ycosxex，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y2x1，即2xy10.考法综述导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：知切点求切线方程(斜率)；知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有命题法导数的概念和几何意义典例(1)已知函数
5、yf(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则 等于()Af(x0) B2f(x0)C2f(x0) D0(2)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1C1 De(3)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析(1) 2f(x0)(2)f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.(3)f(x)3ax21，f(1)3a1，f(1)a2，故f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，代入点(2,7)得，a
6、1.答案(1)C(2)B(3)1【解题法】导数运算的原则和方法以及导数几何意义问题的解题策略(1)原则：先化简解析式，再求导方法：a连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；b分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；c对数形式：先化为和、差的形式，再求导；d根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；e三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(2)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：a求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；b由点斜式求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)已知斜率求切点：已
7、知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决1函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A. B0C. D1答案A解析由f(x)ex(cosxsinx)，则在点(0，f(0)处的切线的斜率kf(0)1，故倾斜角为，选A.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a24)x1(aR，a0)的导函数yf(x)的图象，则f(1)()A. B.C D1答案C解析f(x)x22ax(a24)，由a0，结合导函数yf(x)的图象，知导函数图象为，从而可知a2
8、40，解得a2或a2，再结合0知a0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)解析yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)5若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(e，e)解析由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me, 所以neln ee，即点P的坐标为
9、(e，e)6若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_答案1,2解析易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cosx的导数为g(x)a2sinx，设l2与曲线g(x)ax2cosx的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sinx2.由题设可知k1k21，从而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1的值域是y2a2
10、sinx2值域的子集，则(0,1)a2，a2，则1a2.7已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x0
11、1时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10；yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.创新考向导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情
12、境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等创新例题如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x答案A解析根据题意知，所求函数在(5,5)上单调递减对于A，yx3x，yx2(x225)，x(5,5)，y0，yx3x在(5,5)内为减函数，同理可验证B、C、D均不满足此条件，故选A.创新练习若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)2；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysinx；直线l：yx在点P(0,0)处“切过
