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1、 复合函数一， 复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中u称为中间变量。二， 对高中复合函数的通解法综合分析法1、 解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。（1）y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos1-x2解：() y=2-x2是由y=u,u=2-x2复合而成的。 （2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。 （3）y
2、=sin3x=(sinx)-3 y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。（4）y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1+x2复合而成的。2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。看下例题：例：已知f(x+3)的定义域为1、2,求f(2x-5) 的定义域。经典误解：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11 f(u1)的定义域为1、2x2 -92x-11-6 即：y=f(u2)的定义域为-
3、9、-6f(2x-5)的定义域为-9、-6经典误解：解：f(x+3)的定义域为1、2 1x+32 -2x-1 -42x-2 -92x-5-7 f(2x-5)的定义域为-9、-7（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是
4、指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1x2)复合而成的。 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的x12 4u15 4u25 42x2-55 2x25 / f(2x-5)的定义域为、5结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解与的情况。三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）题型一
5、：单对单，如：已知f(x)的定义域为-1,4,求f(x2)的定义域。题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为、,求f（2x-5）的定义域。（下转3页）题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为0、1,求f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为0、1,求f(x)的定义域。注：通解法综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。 第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）下面用综合分析法解四个题型题型一：单对单：例3：已知f(x)的定义域为-1、4,求f(x2)的定义域。 第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x2
6、2复合而成的。（由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。 f(x)的定义域为-1、4 第2步：找出复合函数定义域的真正对应-1x14 即-1u4 又u=x22 -1x224(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出) -2x22 f(x2)的定义域为(-2,2)结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。题型三：单对多：例4：已知f(x)的定义域为0,1,求f(2x-1)的定义域。 第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。 f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.
7、 第2步：找出复合函数定义域的真正对应：0x11 0u1 02x2-11 x21 f(2x-1)的定义域为，1结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=g(x)的定义域。 下转4页题型四：多对单：如：例5：已知f(2x-1)的定义域为0、1,求f(x)的定义域。 第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。 f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。 第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：0x11 02x12 -12x1-11 -1u1 -1x21 f(x)的定义域为-1、1结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=fg(x)的定义
8、域可求出f(x)的定义域。小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这个桥梁将x1与x2联系起来解题。题型二：多对多：如例6：已知f(x+3)的定义域为1、2,求f(2x-5)的定义域。解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知 f(x)的定义域可求出y=fg(x)的定义域”已知y=fg(x)的定义域可求出f(x)的定义域可以推出f(x)与y=fg(x)可以互求。若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定义域，故这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中u所充
9、当的作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。 f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。第二步：求桥梁f(x)的定义域：1x2 4x+35 4u5 设：函数y3=(u),u=x 下转4页 y3=f(x)的定义域为4、5第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x复合而成的 4x5 4u5 42x-55 x25 f(2x-5)的定义域为：5小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为0、1，求函数y=f(x2+1)的定义域。 解：函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x) 0x2+11
