《(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6. 3.2平面向量的正交分解及坐标表示6. 3.3平面向量加、减运算的坐标表示6. 3.4平面向量数乘运算的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量的坐标表示理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平面向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数 乘的坐标运算法则数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题数学运算、逻辑推理第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示预习问题导学预习教材P27- P33的内容，思考以下问题:1 .怎样分解一个向量才为正交分解？2 .如何求两个向量和、差的向量的坐标？3 .一个向量的坐标与有向
2、线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4.若a = (x, y),贝U扫的坐标是什么？新知初莎1 .平面向量坐标的相关概念耘分解 把一牛向址分解为两个互柯垂直的向iif 厂詔厂设与丄轴、轴方向相同的两个箪也向莹分别|I垦严 L 加取任J柞为基底向哥坐标一向册如巧仏有序实散对住M为向鈕口的坐fei 两赢奈一4)名师点拨(1) 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量ei和e2互相垂直.(2) 由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a =b?x1 =X2且 y1 = y2,其中a=g ,yj,b=(x2,y2).2 .平面向量的坐标运算
3、(1) 若 a=(X1, yi), b= (X2, y2),入 R，则 a + b= (X+ X2, yi + 沁; a b= (x X2, y 1 y2)； 入a =(入x，入y_i).(2) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.名师点拨(1) 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2) 已知向量 AB的起点 A(X1, y1)，终点 B(X2, y2)，则 AB= (X2 X1, y2 y.fl自我检测o判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 点的坐标与向量的坐标相同. ()(2) 零向量的坐标是(0, 0).()(3) 两个向量
4、的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()(4) 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()答案：(1) X V (3) X (4) V0已知A(3, 1), B(2, 1)，则bA的坐标是()A . ( 2, 1)B . (2, 1)C. (1, 2)D . ( 1 , 2)答案：C 如果用i, j分别表示X轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2, 3), B(4, 2)，则AB可以表示为()A . 2i+ 3jB . 4i+ 2jC. 2i jD . 2i + j答案：C0 设 i = (1 , 0), j = (0, 1), a = 3 i + 4 j, b = i +
5、 j，贝U a + b 与 a b 的坐标分别为答案：(2, 5), (4, 3)解惑探究突破探究点Ell平面向量的坐标表示例1 已知O是坐标原点，点 A在第一象限，|OA|= 4石，/ xOA = 60,(1)求向量0A的坐标；若B( 3, 1),求bA的坐标.【解】(1)设点 A(x,y),则 x = |OA|cos 60N .3cos 60=2 . 3, y= |OA|sin 60M. 3sin 60=6,即 A(2 .3, 6)，所以 OA = (2 , 3, 6).(2)bA = (2 3, 6) (.3, 1) = ( .3, 7).律方法求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐
6、标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐 标减去始点坐标得到该向量的坐标.答案：(.2,2)2 .已知长方形 ABCD的长为4,宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的 单位向量，j是y轴上的单位向量，试求 AC和BD的坐标.因为 AB= 4, AD = 3,所以 AC= 4i+ 3j,所以 AC = (4, 3).因为 BD = BA+ AD =- AB + AD所以 BD = - 4i+ 3j,所以 BD = ( 4, 3).採究点 平面向量的坐标运算例 已知向量 a= (5, 2), b= ( 4
7、, 3)，若 c满足 3a 2b+ c= 0，贝U c=()A . ( 23, 12)B . (23 , 12)C. (7, 0)D . ( 7, 0)(2)已知 A( 2, 4), B(3, 1), C( 3, 4),且 CM = 3 CA , CN= 2 CB，求点 M , N 的 坐标.【解】选A.因为a = (5, 2), b= ( 4, 3)，且c满足3a 2b+ c= 0，所以c= 2b3a = 2( 4, 3) 3(5, 2)= ( 8 15, 6 6) = ( 23, 12).法一：因为 A( 2, 4), B(3, 1), C( 3 , 4),所以 CA = ( 2 , 4)
8、 ( 3, 4) = (1, 8),CB = (3 , 1) ( 3, 4) = (6 , 3).因为 CM = 3 CA , CN= 2 CB ,所以 CM = 3(1 , 8) = (3 , 24) , CN= 2(6 , 3) = (12 , 6).设 M(x1, y1), N(x2 , y2),所以 CM = g+ 3 , yr+ 4) = (3 , 24),CN = (X2 + 3 , y2 + 4) = (12 , 6),(X1 + 3 = 3 ,(X2+ 3= 12 ,|x1 = 0 ,(X2= 9 ,所以$5解得1_y1 + 4 = 24 , y2 + 4= 6.y1 = 20
9、 , y2= 2.所以 M(0 , 20) , N(9 , 2).法二：设O为坐标原点，则由 CM = 3 CA , CN= 2 CB ,可得 OM OC = 3(OA OC) , ON OC= 2(OB OC),所以 OM = 3 OA 2 OC,ON= 2 OB OC.所以 OM = 3( -2, 4)- 2(- 3, 4) = (0, 20),ON = 2(3 , - 1) - (-3, - 4) = (9, 2).所以 M(0, 20), N(9, 2).律方怯平面向量坐标(线性)运算的方法(1) 若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2) 若已知有向线
10、段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3) 向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.1 .已知 A, B, C 的坐标分别为(2 , -4) , (0, 6), (- 8 , 10),则 AB+ 2BC =f 1 fBC- 2AC=.解析：因为 A(2 , - 4) , B(0 , 6) , C(-8 , 10),所以 AB = (-2 , 10) , BC= (- 8 , 4) , AC= (- 10 , 14),所以 AB + 2BC = (- 18 , 18) , BC- AC= (- 3, - 3).答案：(18 , 18)(- 3, - 3)2.已知向量
11、a= (2 , 1) , b= (1, - 2),若 ma+ nb= (9 , - 8)(m , n R),贝U m-n 的值为解析： 由题意得 ma + nb = (2m , m) + (n , - 2n) = (2m + n , m 2n) = (9 , - 8),即2m+ n= 9 ,解得 m= 2 , n= 5 ,所以 m- n= 3.m- 2n = - 8 ,答案：3探究点 向量坐标运算的综合应用例 3)已知点 0(0 , 0) , A(1 , 2) , B(4 , 5),及 OP= OA + tAB.(1) t为何值时，点 P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2) 四边形O
12、ABP能为平行四边形吗？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由.【解】(1)OP = OA+ tAB = (1 , 2) + t(3 , 3)2 =(1 + 3t, 2 + 3t).若点 P 在 x 轴上，则 2 + 3t = 0,所以 t =-3.1 若点P在y轴上，则1 + 3t= 0，所以t=- 3.1 + 3tv 0,若点P在第二象限，则2 + 3t 0,2 1 所以一3vtv-.(2)OA = (1 , 2), PB = (3 3t, 3-3t).若四边形 OABP 为平行四边形, t t3 - 3t = 1,则OA = PB,所以该方程组无解.3 - 3t = 2,故四边形OABP
13、不能为平行四边形.互动探究变问法若保持本例条件不变，问 t为何值时，B为线段AP的中点?解：由 Op = OA+tAB，得 Ap= tAB.所以当t= 2时，AP = 2AB, B为线段AP的中点.向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示 向量的点的坐标的位置会随之改变.解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组),解这个方程(组)，就能达到解题的目的.1.已知在平行四边形 ABCD中，A(0, 0), B(5, 0), D(2, 4)，对角线AC, BD交于点M ,则DM的坐标是(3.2D. -2,
14、 2解析：选 A.DM = 1DB = 1(5 , 0)(2, 4) = 2(3, - 4) = 2,- 2 .2 .已知在非平行四边形 ABCD中，AB/ DC,且A, B, D三点的坐标分别为(0, 0), (2, 0), (1, 1),则顶点C的横坐标的取值范围是 .解析：当ABCD为平行四边形时，则 AC = AB + AD = (2, 0) + (1 , 1) = (3, 1),故满足题意的顶点).A . (5, 7)B. (5 , 9)C. (3, 7)D . (3 , 9)答案：A2 .已知 A( 1, 2), B(2, 3), C( 2 , 0) , D(x , y),且 AC = 2BD，贝V x+ y =解析：因为 AC= ( 2 , 0) ( 1, 2) = ( 1 , 2) , Bd = (x , y) (2 , 3) = (x 2 , y 3),又 2BD = AC ,即(2x 4 , 2y 6) = ( 1 , 2),2x 4= 1 ,所以2y 6 = 2 ,_3X 2 ,11解得所以x+ y 2y 4 ,答案：3 .已知点
