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1、功和能有关问题的巧解力学中动能定理和动量定理，他们相互之间存在着内在联系，若能掌握和运用并能站在不同侧面去剖析巧解有关问题，从而使问题化繁为简、由难变易，提高解题效率。例题：质量为m的物体以初速度Vo进入粗糙水平面作匀减速直线运动，经ns(n为整数)静止。求：(1) 第Ns内克服外力做功的数学表达式(Nn)?(2) 1s内，2s内，3s内，ns内克服外力做功之比？(3) 当n=5时，第4s内克服外力做功多大？解析：质量为m的物体以初速度Vo进入粗糙水平面作匀减速直线运动，最后静止。求解本题的关键是物体所受的合外力恒定且恒等于滑动摩擦力的大小，因而可利用匀减速直线运动特殊规律和力、功、能之间的关
2、系及等差数列知识分别求解。初速度Vo的匀减直线运动特殊规律：X:X口:X皿：Xn-(2n-1):(2n-3):(2n-5):2n-2N-112222X1:X2：X3:Xn=(2n-1):(22n-2):(32n-3):(n2n-n)(n取1、2、3、4、，nwt，其中Vo)作为给定的匀减速直线运动a题中t是给定的定值。Xi、X、X皿、分别表示第1s内、第2s内、第3s内的位移；X1、X2、X3、分别表示1s内、2s内、3s内的位移；Vo:y:V2:VN4:：Vn4二n:(n-1):(n-2):(n-N1):12Vo、V1、V2、VnJ分别表示第1s、第2s、第3s、第Ns、第ns的初速。(1)
3、依题意根据式得:X1:Xn二(2n-1):n2则有X12nT)Xnn依FXf；Ek=1mV21 2mV。并将Vt-0代入得:2fXn12mVo依W二FX得：W二fX由此有W-叫2丁由W二FX和式有：占(2n1)Xn=f2n=fXn(2n1)mV022n-1n2n2n2Wi:Wn:W皿：Wn:WN1=fXi:fXn:fX皿:fXn：fXn1=(2n-1):(2n-3):(2n-5):2n-(2N-1):2n-2N1!WI2n1可得Wn2n_(2N_1)则Wn_(2-2N1)Wi2n-1(2)W1:W2:W3:Wn由式得：X2fX1:fX2:fX3：fXn(22n-22)X12n-12v(32n3
4、)X1X32n-127(n2n-n)X1Xn2n-1将X1、X2、X3、Xn代入上式得:Wi:W2:W3:WnfX1(22n-22).fXi(32n-32).2n-12:fX1(n2nn2)2n-122n-n2)2n-12222(2n-1):(22n-2):(32n-3):(n由上式得：W1:W2:W3:Wn=(2n-1):(4n-4):(6n-9)：n2(3)当n=5时，第4s内克服外力做功：由(1)式可知Wi:Wn:W皿：WWz=9:7:5:3:1则有Ww:Wi=3：9Ww一c2332n解法二：从功能关系求解2-25-1mVo2-3mVo50(1).由动能定理有Wn1一Ekn厂1m(V-V
5、NJ)由式得:VoVN-1V0=Vn一n-N则有Vnj(n-N1)V。,VN(n-N)Vo2由此Wn=1it(VnVn丁)=山肉22n2n-N)2-(n-N1)22(2)1(2)设Ns内克服外力做功为Sn,1 212则SnmV”mVo2 2由此有1s内克服外力做功2s内克服外力做功W23s内克服外力做功W3mVo2(n_N)212一n2一2W1=一(12n12)2n厂(22n-22)2n2mV020r(32n-3)2n2mVomVo22ns内克服外力做功WnmVo2-n2nW:W2:W3:Wn=(2n1):(4n4):(6n9):n2(3)将n=5,N=4代入WN二22n一(2N-1)12n2
6、2则有Wn=-印25-(24-1)3mV。22汇550解法三：从等差数列的通项公式和求和公式求解物体作匀减速直线运动，外力克服物体做功随时间减小，在两相邻的相等时间内外力克服物体做功成等差数列，如要求第Ns内外力克服物体做功的量值，可利用等差数列的通项公式WWI(N-1).：W求解，其中Wn表示第Ns内克服外力做功的值，Wi表示第1s内克服外力做功的值，W为公差，表示任意两个连续相等时间内克服外力做功的差值，此差值为负值。克服外力做功随时间减小，如要求Ns内克服外力做功的值，可根据等差数列前N项和公式SN二N恥W求解，其中Sn表示Ns内克服外力2做功的值，Wi表示1s内克服外力做功的值，W为公
7、差，表示任意两个连续相等时间内克服外力做功的差值，此差值为负值。由于Wi=-叫(2n-1)，2n22：W=WN-WNj二-喚2n_(2N_1)I22n_(2N_3)42n(1).WN=WI(N-1)：W=2n2mVo2=mVo=2n2n2(2n-1)2mV0厂(N-1)n则有Wn(2).SN=NW.w-22mVoN(N(2n-1)N-2n22T)mVo2n则有Sn2(N2n-N2)2n2由此有1s内克服外力做功W1=-(12n-12)2n222(22n-22)2n2mV020(32n-3)2n22s内克服外力做功3s内克服外力做功W2W3mVo22-(n2nn2)2nmV。22亍n2nW:W2:W3:Wn=(2n1):(4n4):(6n9):n22mV。ns内克服外力做功WnmVo.将n=5,N=4代入皿一22n-(2N-1)1则有WnmV725-(24-1)-25mV0250【参考文献】陈涛求解位移均匀变化外力功技巧理科考试研究2000年第10期
